Question

2．阅读下列材料：
1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2），
2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3），
3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4），
由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}×$3×4×5=20．
根据以上材料，请你完成下列各题：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11；（写出过程）
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；
（3）根据以上学习经验，猜想1×2×3+2×3×4+…+8×9×10=3960．

Answer 1

分析 （1）利用已知材料得出原式=$\frac{1}{3}$×10×11×12，进而求出即可；
（2）利用（1）中所求，进而求出即可；
（3）仿照已知得出原式=$\frac{1}{4}$（1×2×3×4）+$\frac{1}{4}$（2×3×4×5-1×2×3×4）+$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5）+…+$\frac{1}{4}$（9×10×11×12-8×9×10×11）进而求出即可．

解答 解：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）+…+$\frac{1}{3}$（10×11×12-9×10×11）
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+10×11×12-9×10×11）
=$\frac{1}{3}$×10×11×12
=440；

（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）+…+$\frac{1}{3}$[n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）]
=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；

（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12
=$\frac{1}{4}$（1×2×3×4）+$\frac{1}{4}$（2×3×4×5-1×2×3×4）+$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5）+…+$\frac{1}{4}$（9×10×11×12-8×9×10×11）
=$\frac{1}{4}$×9×10×11×12
=3960．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用找出的规律解决问题．