Question

【题目】如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．

（1）求证：BD=CE；

（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形DEMN是正方形，证明见解析.

【解析】分析：（1）根据已知条件得到AD=AE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据三角形中位线的性质得到ED∥BC，ED=BC，MN∥BC，MN=BC，等量代换得到ED∥MN，ED=MN，推出四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，求得DM=EN，得到四边形EDNM是矩形，根据全等三角形的性质得到OB=OC，由三角形的重心的性质得到O到BC的距离=BC，根据直角三角形的判定得到BD⊥CE，于是得到结论．

详解：

（1）解：由题意得，AB=AC，

∵BD，CE分别是两腰上的中线，

∴AD=AC，AE=AB，

∴AD=AE，

在△ABD和△ACE中

，

∴△ABD≌△ACE（ASA）．

∴BD=CE；

（2）四边形DEMN是正方形，

证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，

∴AE=AB，AD=AC，ED是△ABC的中位线，

∴ED∥BC，ED=BC，

∵点M、N分别为线段BO和CO中点，

∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，

∴MN∥BC，MN=BC，

∴ED∥MN，ED=MN，

∴四边形EDNM是平行四边形，

由（1）知BD=CE，

又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，

∴DM=EN，

∴四边形EDNM是矩形，

在△BDC与△CEB中，，

∴△BDC≌△CEB，

∴∠BCE=∠CBD，

∴OB=OC，

∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，

∴O到BC的距离=BC，

∴BD⊥CE，

∴四边形DEMN是正方形．