Question

【题目】已知二次函数y=x2﹣（a﹣1）x+a﹣2，其中a是常数．
（1）求证：不论a为何值，该二次函数的图象与x轴一定有公共点；
（2）当a=4时，该二次函数的图象顶点为A，与x轴交于B，D两点，与y轴交于C点，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：y=x2﹣（a﹣1）x+a﹣2．

因为[﹣（a﹣1）]2﹣4（a﹣2）=（a﹣3）2≥0．

所以，方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2=0有实数根．

所以，不论a为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；

（2）解：由题可知：当a=4时，y=x2﹣3x+2，

因为y=x2﹣3x+2=（x﹣ ）2﹣ ，所以A（ ，﹣ ），

当y=0时，x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，所以B（1，0），D（2，0），

当x=0时，y=2，所以C（0，2），

所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC= +1= ．

【解析】（1）利用根的判别式符号进行证明；（2）由抛物线解析式求得点B、C、D的坐标，然后利用分割法来求四边形ABCD的面积．
【考点精析】通过灵活运用抛物线与坐标轴的交点，掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．即可以解答此题．