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【题目】如图,抛物线y=ax2-2ax+c(a0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A的坐标为(4,0).

(1)求该抛物线的解析式;

(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QEAC,交BC于点E,连接CQ,当CQE的面积为3时,求点Q的坐标;

(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l,使得ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1y=-x2+x+4;2、Q1,03P1+,2 P1-,2 P1+,3P(1-,3.

【解析】

试题分析:1、首先将A、C两点代入求出函数解析式;2、首先根据函数解析式得出点B的坐标,求出AB和BQ的长度,根据QEAC得出BQE和BAC相似得出EG的长度,然后根据三角形的面积得出点m的值,即得到点Q的坐标;3、根据DO=DF,FO=FD,OD=OF三种情况分别进行计算,得出点P的坐标.

试题解析:(1)由题意,得 ,解得 所求抛物线的解析式为y=-x2+x+4

(2)如图,设点Q的坐标为(m,0),过点E作EGx轴于点G,由-x2+x+4=0,

得x1=-2,x2=4,点B的坐标为(-2,0) AB=6,BQ= m +2

QEAC, ∴△BQE∽△BAC = =EG=

SCQE=SCBQ-SEBQBQ·CO-BQ·EG =m+2)(4- =-m2+m+=3,

m2-2m-8=-9, m=1 Q1,0

(3)存在

ODF

DO=DF,A4,0,D2,0AD=OD=DF=2,又在RtAOC,OA=OC=4,∴∠OAC= 45°

∴∠DFA=OAC= 45°∴∠ADF=90°此时F的坐标为(2,2)

x1=1+,x2=1-

此时P的坐标为:P1+,2 P1-,2

如图,

FO=FD,过点FFM 轴于点M,由等腰三角形的性质得:OM=OD=1,AM=3

在等腰直角三角形AMF,MF=AM=3 F1,3

-x2+x+4=3,x1=1+,x2=1-

此时P的坐标为:P1+,3P(1-,3

OD=OF,OA=OC=4,AOC=90°AC= 4

OAC的距离为2OF=OD=2<2

此时不存在这样的直线l使得ODF是等腰三角形.

综上所述,存在这样的直线l,使得ODF是等腰三角形.所求点P的坐标为:

P1+,2 P1-,2 P1+,3P(1-,3

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