Question

【题目】已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动（点M与点A、点D不重合）．

（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；

（2）如图2，当a=2，b=5，求点M运动到什么位置时，∠BMC=90°；

（3）如图3，在第（2）问的条件下，若另一动点N从点C出发沿边C→M→B运动，且点M、点N的出发时间与运动速度都相同，过点N作AD和垂线交AD于点H，当△MNH与△MBC相似时，求MH的长．

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）AM=1或4时，∠BMC=90°；（3）△MNH与△MBC相似时，MH=8﹣或﹣2．

【解析】

试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；（2）根据已知条件得到∠AMB+∠DMC=90°，根据余角的性质得到∠ABM=∠DMC，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．（3）①当点N在CM上时，由△MNH与△MBC相似，得到∠BMC=∠MHN=90°，当AM=CN=1时，根据相似三角形的性质列方程求得结论；当AM=CN=4时，DM=1，CM=＜4，这种情况不存在；②当点N在BM上时，当AM=CN=1时，同理这种情况不存在；当AM=CN=4时，即CM+MN=4，根据相似三角形的性质即可得到结论．

试题解析：（1）证明：∵b=2a，点M是AD的中点，

∴AB=AM=MD=DC=a，

又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∴∠AMB=∠DMC=45°，

∴∠BMC=90°．

（2）解：若∠BMC=90°，

则∠AMB+∠DMC=90°，

又∵∠AMB+∠ABM=90°，

∴∠ABM=∠DMC，

又∵∠A=∠D=90°，

∴△ABM∽△DMC，

∴，

设AM=x，则，

∴x=1或4，

∴AM=1或4时，∠BMC=90°；

（3）解：①当点N在CM上时，

∵△MNH与△MBC相似，

∴∠BMC=∠MHN=90°，

当AM=CN=1时，

∴DM=4，∴CM=2，

∴MN=2﹣1，

∵NH⊥AD，∠D=90°，

∴NH∥CD，

∴，

∴，

∴MH=8﹣；

当AM=CN=4时，

DM=1，CM=＜4，

∴这种情况不存在；

②当点N在BM上时，

当AM=CN=1时，同理这种情况不存在；

当AM=CN=4时，即CM+MN=4，

∵CM=，

∴MN=4﹣，BM=2，

∵HN∥AB，

∴△MHN∽ABM，

∴，即，

∴MH=﹣2．

综上所述：△MNH与△MBC相似时，MH=8﹣或﹣2．