Question

【题目】（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线的对称轴绕着点P（，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上的一点.

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；

（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t<2）是直线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值.

Answer 1

【答案】（1）y=x+2；

（2）当m=时，点Q到直线AB的距离的最大，最大距离为；

（3）t=1或t=0或t=1-或t=3-.

【解析】

试题分析：（1）根据题意求出直线AB与坐标轴的交点坐标，用待定系数法即可求解；（2）过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D,设Q（m，m2），则C（m,m+2）,用m表示出QC的长，再根据QC与QD的关系，构造QD与m的二次函数模型，利用二次函数的的性质即可求得点Q到直线AB的距离的最大值；（3）由题意可知∠APT=45°，△PBQ中必有一个内角等于45°，由图知∠BPQ=45°不合题意.分两种情况，①若∠PBQ=45°，可得BQ∥x轴，可证得△BPQ为等腰直角三角形，若△PAT与△BPQ相似，则△PAT也是等腰直角三角形，在分∠PAT为直角或∠PAT为直角两种情况求t值；②若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；现以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q1都在⊙F上，设⊙F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q2，根据圆周角定理可得∠PQ2B=∠PQ1B=45°，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，也分两种情况（i）△Q2PB∽△PAT，（ii）△Q2BP∽△PAT，根据三角形相似，利用相似的性质求t值.

试题解析：解：（1）设直线AB与x轴的交点为M，∵∠OPA=45°，

∴OM=OP=2，即点M的坐标为（-2,0）.

设直线AB的函数解析式为y=kx+b,将M（-2,0）和P（，2）两点坐标代入，

得，解得，故直线AB的函数解析式为y=x+2.

过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D,

根据条件可知△QDC为等腰直角三角形.

所以QD=,

设Q（m，m2），则C（m,m+2）,

∴QC=m+2-m2=

QD==.

故当m=时，点Q到直线AB的距离的最大，最大距离为.

∵∠APT=45°,∴△PBQ中必有一个内角等于45°，由图知∠BPQ=45°不合题意.

①若∠PBQ=45°，过点B作x的平行线，与抛物线和y轴分别交于点Q、F，此时满足∠PBQ1=45°.

∵Q1（-2，4）、F（0，4），∴此时△BPQ1为等腰直角三角形，由题意可知△PAT也为等腰直角三角形.

（i）当∠PAT为直角时，得PT=AT=1，此时t=1；

（ii）当∠PAT为直角时，得PT=2，此时t=0.

②若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；

现以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q1都在⊙F上，设⊙F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q2，

∵∠PQ2B=∠PQ1B所对的弧相同，

∴∠PQ2B=∠PQ1B=45°.

即这里的交点Q2也符合要求.

设Q2（n，n2）（-2<n<0），由FQ2=2,得，

即，解得，

而-2<n<0，故n=，即Q2（，3）.

可证△PFQ2为等边三角形，所以∠PFQ2=60°，又弧PQ2=弧PQ2

所以∠PBQ2=∠PFQ2=30°，则在△PQ2B中，∠PQ2B=45°，∠PBQ2=30°.

（i）若△Q2PB∽△PAT，则过点A作y轴垂线，垂足为E.

则ET=AE=,OE=1，∴OT=-1,解得t=1-.

（ii）若△Q2BP∽△PAT，则过点T作直线AB的垂线，垂足为G.

设TG=a，则PG=TG=a，AG=TG=a，AP=

∴a+a=，解得PT=a=-1

∴OT=OP-PT=3-,∴t=3-.

综上所述，所求t的值为t=1或t=0或t=1-或t=3-.