Question

【题目】已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．
（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1 ， x2 ， 且满足x12+x22=3x1x2 ， 求实数p的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0，

x2﹣5x+6﹣p2=0，

△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2，

∵无论p取何值时，总有4p2≥0，

∴1+4p2＞0，

∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根

（2）解：x1+x2=5，x1x2=6﹣p2，

∵x12+x22=3x1x2，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2，

∴52=5（6﹣p2），

∴p=±1

【解析】（1）化成一般形式，求根的判别式，当△＞0时，方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系的关系求出两根和与两根积，再把 变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程．
【考点精析】本题主要考查了求根公式的相关知识点，需要掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根才能正确解答此题．