Question

【题目】如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）求证：△ABC是直角三角形；

（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），C（﹣1，﹣3）；（2）证明见解析；（3）（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．

【解析】

试题分析：（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；

（2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，结合A、B、C三点的坐标可求得∠ABO=∠CBO=45°，可证得结论；

（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得N点的坐标．

试题解析：

（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为，又抛物线过原点，∴，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为，即，联立抛物线和直线解析式可得：，解得：或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；

（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，），∴ON=|x|，MN=，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=，∵MN⊥x轴于点N

∴∠ABC=∠MNO=90°，∴当△ABC和△MNO相似时，有或；

①当时，则有，即，∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴，即，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；

②当时，则有，即，∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．