【题目】如图,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=x﹣2交于B,C两点.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)求证:△ABC是直角三角形;
(3)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),C(﹣1,﹣3);(2)证明见解析;(3)(
,0)或(
,0)或(﹣1,0)或(5,0).
【解析】
试题分析:(1)可设顶点式,把原点坐标代入可求得抛物线解析式,联立直线与抛物线解析式,可求得C点坐标;
(2)分别过A、C两点作x轴的垂线,交x轴于点D、E两点,结合A、B、C三点的坐标可求得∠ABO=∠CBO=45°,可证得结论;
(3)设出N点坐标,可表示出M点坐标,从而可表示出MN、ON的长度,当△MON和△ABC相似时,利用三角形相似的性质可得或
,可求得N点的坐标.
试题解析:
(1)∵顶点坐标为(1,1),∴设抛物线解析式为,又抛物线过原点,∴
,解得a=﹣1,∴抛物线解析式为
,即
,联立抛物线和直线解析式可得:
,解得:
或
,∴B(2,0),C(﹣1,﹣3);
(2)如图,分别过A、C两点作x轴的垂线,交x轴于点D、E两点,则AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,EC=3,∴∠ABO=∠CBO=45°,即∠ABC=90°,∴△ABC是直角三角形;
(3)假设存在满足条件的点N,设N(x,0),则M(x,),∴ON=|x|,MN=
,由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中,可分别求得AB=
,BC=
,∵MN⊥x轴于点N
∴∠ABC=∠MNO=90°,∴当△ABC和△MNO相似时,有或
;
①当时,则有
,即
,∵当x=0时M、O、N不能构成三角形,∴x≠0,∴
,即
,解得x=
或x=
,此时N点坐标为(
,0)或(
,0);
②当时,则有
,即
,∴|﹣x+2|=3,即﹣x+2=±3,解得x=5或x=﹣1,此时N点坐标为(﹣1,0)或(5,0);
综上可知存在满足条件的N点,其坐标为(,0)或(
,0)或(﹣1,0)或(5,0).
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【题目】甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习.图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S(km)随时间t(分)变化的函数图象.以下说法:①乙比甲提前12分钟到达;②甲的平均速度为15千米/小时;③乙走了8km后遇到甲;④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
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【题目】如图,四边形ABCD为矩形纸片,把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在边DC的中点E,折痕为AF,已知CD=8cm.求:
(1)AD的长;
(2)△ABF的面积.
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【题目】如图,直线l1的解析式为y=﹣2x+2,且l1与x轴交于点D,直线l2经过点A(4,0),B(0,﹣1),两直线交于点C.
(1)点D的坐标为;
(2)求直线l2的表达式;
(3)求△ADC的面积;
(4)若有过点C的直线CE把△ADC的面积分为2:1两部分,请直接写出直线CE的表达式.
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【题目】上海世博会的某纪念品原价168元,连续两次降价a%后售价为128元.下列所列方程中正确的( )
A.168(1+a%)=128B.168(1-a%)=128
C.168(1-2a%)=128D.168(1+2a%)=128
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,﹣3),动点P在抛物线上.
(1)b= ,c= ,点B的坐标为 ;(直接填写结果)
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.
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【题目】甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中,统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示,符合这一结果的实验可能是( )
A.掷一枚正六面体的骰子,出现1点的概率
B.任意写一个正整数,它能被3整除的概率
C.抛一枚硬币,出现正面的概率
D.从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球,取到白球的概率
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【题目】在平面直角坐标xOy中,已知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的⊙O上,连接OC,过O点作OD⊥OC,OD与⊙O相交于点D(其中点C、O、D按逆时针方向排列),连接AB.
(1)当OC∥AB时,∠BOC的度数为 ;
(2)连接AC,BC,在点C在⊙O运动过程中,△ABC的面积是否存在最大值?并求出△ABC的最大值;
(3)直接写出在(2)的条件下D点的坐标.
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