Question

2．如图所示，在正方形ABCD中，M是BC上一点，连接AM，作AM垂直平分线GH交AB于G点，交CD于H点，已知AB=8，CM=2，求GH长．

Answer 1

分析 作平行线，构建全等三角形，证明△ABM≌△BCE，得AM=BE，再证明四边形GBEH是平行四边形得GH=BE，所以GH=AM，由勾股定理计算出AM的长即可．

解答 解：过B作BE∥GH，交DC于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCE=90°，
∴∠EBC+∠BEC=90°，
∵GH是AM的中垂线，BE∥GH，
∴∠BFM=∠GNM=90°，
∴∠EBC+∠BMF=90°，
∴∠BEC=∠BMF，
∴△ABM≌△BCE，
∴AM=BE，
∵AB=BC=8，MC=2，
∴BM=BC-MC=8-2=6，
∴AM=10，
∴BE=10，
∵BG∥EH，GH∥BE，
∴四边形GBEH是平行四边形，
∴GH=BE=10．

点评 本题考查了正方形、线段垂直平分线的性质，把所求的边利用三角形全等和平行四边形转化到直角△ABM中，使问题得以解决，直角三角形中的边利用勾股定理求出，做好此题要熟练掌握正方形的各边相等及各角为90°，在正方形中证明三角形全等，常根据同角的余角相等来证明角的大小关系．