Question

【题目】如图，等边△ABD与等边△ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，下列结论：（1）BE=CD ；（2）AF平分∠EAC ； （3）∠BFD=60°；（4）AF+FD=BF 其中正确的有（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

（1）先证△BAE≌△DAC，即可得到BE=CD；

（2）利用四点共圆的判定证出A、E、F、C四点共圆，再利用反证法假设（2）成立得到与条件矛盾即可说明假设不成立；

（3）根据A、E、F、C四点共圆，可求出∠EFC，然后就可求∠BFD；

（4）利用截长补短法：在BF上找到点G使得FG=FA，先证△AFG是等边三角形，再证

△BAG≌△DAF即可证出结论.

在BF上找到点G使得FG=FA，如下图所示：

∵△ABD和△ACE是等边三角形

∴∠BAD=∠EAC=60°，AB=AD，AE=AC

∴∠BAD－∠EAD=∠EAC－∠EAD

∴∠BAE=∠DAC，

在△BAE和△DAC中，

∴△BAE≌△DAC，（SAS）

∴BE=CD，故（1）正确；

∠BEA=∠ACD，

∵∠AEB+∠AEF=180°，

∴∠AEF+∠ACF=180°，

∴A、E、F、C四点共圆，

∴假设（2）正确，即∠EAF=∠CAF

由圆的性质可得EF=FC

∴∠FEC=∠FCE

∴∠FEC＋∠AEC=∠FCE＋∠ACE

∴∠AEF=∠ACF

又∵∠AEF+∠ACF=180°（已证）

∴∠AEF=∠ACF=90°

而题中的∠AEF是动角，不一定是90°，矛盾，

故（2）不一定正确；

∵A、E、F、C四点共圆，∠EAC=60°

∴∠EFC=120°，

∴∠BFD=180°－∠EFC =60°，故（3）正确；

∵AE=AC，

∴∠AFC=∠AFE=∠EFC=60°

∵FG=FA，

∴△AFG是等边三角形，

∴AG=AF，∠FAG=60°

∵∠BAG+∠GAD=60°，∠FAD+∠GAD =60°，

∴∠BAG =∠FAD，

在△BAG和△DAF中，

∴△BAG≌△DAF（SAS），

∴BG=FD，

∴AF＋FD=FG＋BG=BF，故（4）正确；

∴正确的结论有3个．

故选C．