Question

AB是⊙O的直径，AB=12cm，CD是⊙O一条弦，它与AB交于点E，△ACE与△BDE的面积之比为4：1，则AC：BD=

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：如图，作辅助线；通过△DME∽△CNE，结合△ACE与△BDE的面积之比为4：1，得到即

AE

DE

•

CE

BE

=4①；通过证明△AEC∽△DEB，得到

AC

BD

=

AE

DE

=

CE

BE

②；联立①②即可解决问题．

解答：解：如图，分别过点D、C作DM⊥OB，CN⊥OB于点M、N；
则DM∥CN，
∴△DME∽△CNE，
∴

CN

DM

=

CE

DE

；
∵△ACE与△BDE的面积之比为4：1，
∴

1 2 AE•CN

1 2 BE•DM

=

4

1

，
即

AE•CN

BE•DM

=4；而

CN

DM

=

CE

DE

，
∴

AE•CE

BE•DE

=4，
即

AE

DE

•

CE

BE

=4①；
在△AEC与△DEB中，

∠A=∠D ∠C=∠B

，
∴△AEC∽△DEB，
∴

AC

BD

=

AE

DE

=

CE

BE

②；
由①、②可求

CE

BE

=2，
∴

AC

BD

=2，
故答案为：2．

点评：该命题以圆为载体，以考查圆周角定理及相似三角形的判定为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，灵活运用圆周角定理等几何知识来分析、判断或解答．