Question

【题目】如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得∠ABP＝90°，求出点P坐标；

（3）点E是抛物线对称轴上一点，点F是抛物线上一点，是否存在点E和点F使得以点E，F，B，O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）P(－4，－8)；（3）存在，点F的坐标为（5，），（﹣3，），（3，）．

【解析】

（1）由直线表达式求出点A、B的坐标，把A、B点坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）OA=OB=4，则OB为AC的垂直平分线，则点C坐标为（0，-4），求出直线BC的表达式，即可求解；
（3）存在；分OB是平行四边形的一条边或一条对角线两种情况，分别求解即可．

解：（1）在y＝﹣x+4中，

当x＝0时， y＝4，当y＝0时，x＝4，

即点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），

将（0，4）、（4，0），代入二次函数表达式，并解得：

b=1，c=4，

抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；

（2）∵OA＝OB＝4，

∴∠ABO＝45°，

∵∠ABP＝90°，

则∠PBO=45°，

若直线PB交y轴于点M，

则OM=OB=4，

可得直线BP的解析式为：y=x－4，

联立：y=x－4，y＝﹣x2+x+4，得：

x=4，y=0(即B点)；x=－4，y=－8，

即P(－4，－8)；

（3）存在；

由y＝﹣x2+x+4知抛物线的对称轴为：x=1，

设E(1，m)，F(n，﹣n2+n+4)，O(0，0)，B(4，0)，

①当四边形OBEF是平行四边形时，

有：EF=4，

∴n-1=-4，即n=-3，

F点坐标为（-3，）；

②当四边形OBFE是平行四边形时，

有：EF=4，

n-1=4，即n=5，

F点坐标为（5，）；

③当四边形OFBE是平行四边形时，

有：，

即n=3，

F点坐标为（3，）；

综上所述：点F的坐标为（5，），（﹣3，），（3，）．