Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）求证：四边形ADCF是菱形；

（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）96．

【解析】

(1)先证明△AEF≌△DEB（AAS），得AF＝DB，根据一组对边平行且相等可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：AD＝CD，根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形；

(2)先根据菱形和三角形的面积可得：菱形ADCF的面积＝直角三角形ABC的面积，即可解答．

解：(1)证明：∵E是AD的中点，

∴AE＝DE，

∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

在△AEF和△DEB中，

∵，

∴△AEF≌△DEB（AAS），

∴AF＝DB，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，

∴AD＝CD＝BC，

∴四边形ADCF是菱形；

（2）解：设AF到CD的距离为h，

∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，

∴S菱形ADCF＝CDh＝BCh＝S△ABC＝ABAC＝×12×16＝96．