Question

【题目】已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．

（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；

（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，设AQ＝m，试用含有t的式子表示m；

（3）在（2）的条件下，连接OQ，当OQ取得最小值时，求点Q的坐标；

（4）在（2）的条件下，点C′能否落在边OA上？如果能，直接写出点P的坐标；如果不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）点C′不能落在边OA上．

【解析】

（1）在Rt△OBP中，∠BOP＝30°，求PB，即求P点坐标；

（2）证明OBP∽△PCQ，得到即可求解；

（3）OQ2＝OA2+AQ2＝42+AQ2＝16+AQ2，当AQ最短时，OQ最短；

（4）假设点C′能落在边OA上，在Rt△OB′C′中，B′O2+B′C′2＝OC′2，32+（4﹣2t）2＝（4﹣t）2，△＝（﹣8）2﹣4×3×9＜0，该方程无实数解，点C′不能落在边OA上．

解：（1）∵A（4，0），B（0，3），

∴OA＝4，OB＝3，

在Rt△OBP中，

∵∠BOP＝30°，

∴PB＝，

∴点P的坐标为（，3），

（2）由题意，得BP＝t，PC＝4﹣t，CQ＝3﹣m，

由折叠可知：∠OPB＝∠OPB′，∠CPQ＝∠C′PQ，

又∵∠OPB+∠OPB′+∠CPQ+∠C′PQ＝180°，

∴∠OPB+∠CPQ＝90°，

又∵∠OPB+∠BOP＝90°，

∴∠OPB＝∠CPQ，

又∵∠OBP＝∠C＝90°，

∴△OBP∽△PCQ，

∴，

，

∴m＝t2﹣t+3；

（3）∵OQ2＝OA2+AQ2＝42+AQ2＝16+AQ2，

∴当AQ最短时，OQ最短，

∵AQ＝m＝t2﹣t+3＝（t﹣2）2+，

∴当t＝2时，AQ最短，OQ最短，

此时点Q（4，），

（4）点C′不能落在边OA上，

理由：假设点C′能落在边OA上，由折叠可得

PB＝PB′＝t，PC＝PC′＝4﹣t，OB＝OB′＝3，∠OPB＝∠OPC′，∠OB′P＝∠OBP＝90°，

∵BC∥OA，

∴∠BPO＝∠POC′，

∴∠OPC′＝∠POC′，

∴OC′＝PC′＝4﹣t，

∴B′C′＝PC﹣PB′＝（4﹣t）﹣t＝4﹣2t，

在Rt△OB′C′中，∵B′O2+B′C′2＝OC′2，

∴32+（4﹣2t）2＝（4﹣t）2，

整理，得3t2﹣8t+9＝0，

∵△＝（﹣8）2﹣4×3×9＜0，

∴该方程无实数解，

∴点C′不能落在边OA上．