Question

如图，五边形ABCDE的5条边相等，5个内角也相等．问图中有

 

条线段被点F黄金分割？

Answer 1

考点：黄金分割,等腰三角形的判定,正多边形和圆,相似三角形的判定与性质

专题：推理填空题

分析：由条件可知五边形ABCDE是正五边形，设正五边形ABCDE的外接圆为⊙O，如图所示．易证DG=DF=CF，△FGD∽△DGC，进而证到

FG

CF

=

CF

GC

，即线段CG被点F黄金分割；同理，线段CE、DN、BD都被点F黄金分割，从而解决问题．

解答：解：∵五边形ABCDE的5条边相等，5个内角也相等，
∴五边形ABCDE是正五边形．
设正五边形ABCDE的外接圆为⊙O，如图所示．
则∠ADB=∠ECD=∠BDC=

1

2

×

360°

5

=36°．
∴∠CDG=72°，∠CGD=180°-36°-72°=72°．
∴∠GFD=180°-36°-72°=72°．
∴∠DGF=∠DFG=72°，∠FCD=∠FDC=36°．
∴DG=DF=CF．
∵∠GDF=∠GCD=36°，∠FGD=∠DGC，
∴△FGD∽△DGC．
∴

FG

DG

=

DG

GC

．
∴

FG

CF

=

CF

GC

．
∴点F是线段CG的黄金分割点，即线段CG被点F黄金分割．
同理可得：线段CE、DN、BD都被点F黄金分割．
故答案为：4．

点评：本题考查了黄金分割、正多边形与圆、圆周角与弧的关系、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性．