Question

16．如图，抛物线y=ax²+4与y轴交于点A，点B（2$\sqrt{3}$，4），点C在抛物线y=ax²+4上，若△ABC为等边三角形．
（1）求AB的长；
（2）求该抛物线的表达式．

Answer 1

分析 （1）由抛物线可知A（0，4），推出AB∥x轴，AB=2$\sqrt{3}$；
（2）作CD⊥AB于D，根据等边三角形的性质和解直角三角形求得AD=$\sqrt{3}$，CD=3，得出C（$\sqrt{3}$，1），然后代入解析式，根据待定系数法即可求得．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+4与y轴交于点A，
∴A（0，4），
∵B（2$\sqrt{3}$，4），
∴AB∥x轴，
∴AB=2$\sqrt{3}$；
（2）作CD⊥AB于D，交x轴于E，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC=AB=2$\sqrt{3}$，
∴AD=$\sqrt{3}$，CD=3，
∴C（$\sqrt{3}$，1），
点C在抛物线y=ax²+4上，
∴1=3a+4，
∴a=-1，
∴该抛物线的表达式为y=-x²．

点评 本题考查了等边三角形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，求得C的坐标是解题的关键．