Question

12．如图所示，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=1cm，BE=5cm，∠BED=60°，求DE的长．

Answer 1

分析 作OF⊥CD于点F，连接OD，根据AE=1cm，EB=5cm求出⊙O的直径，进而求出⊙O的半径，从而求出OE的长，再在Rt△EOF中，利用三角函数求出EF、OF的长，然后在直角△ODF中利用勾股定理即可求得DF的长，即可求得DE的长．

解答 解：作OF⊥CD于点F，连接OD．
∵AE=1cm，EB=5cm，
∴AB=1+5=6cm，
AO=$\frac{1}{2}$×6=3cm，
∴EO=3-1=2cm．
∵在直角△OEF中，OE=OA-AE=3-1=2，
sin∠DEB=$\frac{OF}{OE}$，cos∠DEB=$\frac{EF}{OE}$，
∴OF=OE•sin∠DEB=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．EF=EO•cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1．
在直角△ODF中，
∵DF=$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴DE=DF+EF=$\sqrt{6}$+1．

点评 本题考查的是垂径定理，勾股定理以及解直角三角形，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．