Question

7．为解决郑州交通拥堵的问题，政府决定北在A、D两地修建高架路，为此，公交车不得不更改线路，原来直接由A到D的公交车现改为由A-B-C-D，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东45°方向，在B地正北方向，在C地北偏西60°方向．C地在A地北偏东75°方向，B、D两地相距2km．问更改线路后公交车多行了多远？（结果保留整数，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7）

Answer 1

分析 由已知D地在A地北偏东45°方向，C地在A地北偏东75°方向，D地在A地北偏东45°方向可知∠DAB=30°∠ADB=45°，则在△ABD中已知两角和边BD=2km，求AD的长，可以通过作AD边上的高转化为解直角三角形解决．

解答 解：过B作BH⊥AD于H．
依题意∠BDH=45°，∠CBD=75°，∠BAD=75°-45°=30°．
在Rt△BDH中，HD=BH=BD•cos45°=$\sqrt{2}$，
在Rt△ABH中，AH=$\frac{BH}{tan30°}$=$\sqrt{6}$，
AB=$\frac{BH}{sin30°}$=2$\sqrt{2}$，
∴AD=AH+HD=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．
∵∠ABD=180°-75°=105°，
∴∠ADC=45°+60°=105°，
∴∠ABD=∠ADC．
又∠DAB=∠CAD，
∴△ABD∽△ADC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{AD}$，即$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{AC}$=$\frac{2}{CD}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$，
解得：AC=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，CD=$\sqrt{3}$+1．
∴AC+CD-AD=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$+1-$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+1≈4（km）．
答：更改线路后公交车多行了4km．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题．解决一般三角形的问题，可以通过作高线，转化为解直角三角形的问题．