Question

【题目】已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3交x轴于点A、C（点A在点C左侧），交y轴于点B．

（1）求A，B，C三点坐标；

（2）如图1，点D为AC中点，点E在线段BD上，且BE=2DE，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M坐标；

（3）如图2，将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，点P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在它们的左侧作等边△APR和等边△AGQ，求PA+PC+PG的最小值，并求当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），C（1，0），B（0，3）；（2）M（﹣，）；（3）2,P（﹣，）．

【解析】

（1）抛物线中，令，可得A，C坐标；当x=0时，可得B的坐标；

（2）首先利用A、C坐标，求出D的坐标，根据BE=2ED，求出点E坐标，求出直线CE，利用方程组求交点坐标M即可；

（3）先证明△QAR≌△GAP即可得出QR=PG，进而得到PA+PC+PG=PR+PC+QR，可得当Q，R，P，C共线时，PA+PC+PG的值最小，即为线段QC的长，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，利用勾股定理求得QC的长，再求出AM，CM，利用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可解决问题．

解：（1）抛物线y=﹣x2﹣2x+3中，令y=﹣x2﹣2x+3=0，可得x1=1，x2=﹣3，

∴A（﹣3，0），C（1，0），

当x=0时，y=3，

∴B（0，3）；

（2）∵点D为AC中点，A（﹣3，0），C（1，0），

∴D（﹣1，0），

∵BE=2DE，B（0，3），

∴E（﹣，1），

设直线CE为y=kx+b，把C（1，0），E（﹣，1）代入，可得

，解得，

∴直线CE为y=﹣x+，

解方程组，可得或，

∵M在第二象限，

∴M（﹣，）；

（3）∵△APR和△AGQ是等边三角形，

∴AP=AR=PR，AQ=AG，∠QAG=∠RAP=60°，

∴∠QAR=∠GAP，

在△QAR和△GAP中，

，

∴△QAR≌△GAP（SAS），

∴QR=PG，

∴PA+PC+PG=PR+PC+QR，

∴当Q，R，P，C共线时，PA+PC+PG的值最小，即为线段QC的长，

如图3，作QN⊥OA于N，作AM⊥CQ于M，作PK⊥CN于K，

依题意得∠GAO=45°+15°=60°，AO=3，

∴AG=GQ=QA=6，∠AGO=30°，OG=3，

∵∠AGQ=60°，

∴∠QGO=90°，

∴Q（﹣6，3），

在Rt△QNC中，QN=3，CN=6+1=7，

∴QC==2，即PA+PC+PG的最小值为2，

∴sin∠ACM== ，

∴AM== ，

∵△APR是等边三角形，

∴∠APM=60°，PM=AM，MC== ，

∴PC=CM﹣PM=，

∵sin∠PCN== ，cos∠PCN== ，

∴PK=，CK=，

∴OK=，

∴P（﹣，）．