Question

【题目】如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．

（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？
（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4，

∴C（0，4），

∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），

∴B（10，4），

把B、D坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+4；

（2）

解：由题意可设P（t，4），则E（t，﹣ t2+ t+4），

∴PB=10﹣t，PE=﹣ t2+ t+4﹣4=﹣ t2+ t，

∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD，

∴△PBE∽△OCD，

∴ = ，即BPOD=COPE，

∴2（10﹣t）=4（﹣ t2+ t），解得t=3或t=10（不合题意，舍去），

∴当t=3时，∠PBE=∠OCD；

（3）

解：当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN，

∴∠CQO+∠AQB=90°，

∵∠CQO+∠OCQ=90°，

∴∠OCQ=∠AQB，

∴Rt△COQ∽Rt△QAB，

∴ = ，即OQAQ=COAB，

设OQ=m，则AQ=10﹣m，

∴m（10﹣m）=4×4，解得m=2或m=8，

①当m=2时，CQ= =2 ，BQ= =4 ，

∴sin∠BCQ= = ，sin∠CBQ= = ，

∴PM=PCsin∠PCQ= t，PN=PBsin∠CBQ= （10﹣t），

∴ t= （10﹣t），解得t= ，

②当m=8时，同理可求得t= ，

∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为 或 ．

【解析】（1）由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，则可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解矩形的性质的相关知识，掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等，以及对相似三角形的性质的理解，了解对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．