Question

8．已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过第二象限内的点A（-2，m），AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为2，若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上另一点C（n，-$\frac{4}{3}$）
（1）反比例函数的解析式为y=-$\frac{x}{4}$，m=2，n=3；
（2）求直线y=ax+b的解析式；
（3）求△AOC的面积．
（4）在y轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形AOB的面积求出m，从而得出反比例函数解析式，又根据点C在反比例函数图象上，即可求出n；
（2）根据点A（-2，2），C（3，-$\frac{4}{3}$）在直线上，用待定系数法求出直线解析式；
（3）先求出点M坐标，从而得出OM，再用三角形AOM和三角形COM的面积之和求解即可；
（4）先设出点P坐标，再表示出OA，OP，AP，再根据边相等分三种情况分别建立方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过第二象限内的点A（-2，m），AB⊥x轴于B，
∴OB=2，AB=m，
∵Rt△AOB面积为2
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB×AB=$\frac{1}{2}$×2×m=2，
∴m=2，
∴A（-2，2），
∴k=-2×2=-4，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{4}{x}$，
∵C（n，-$\frac{4}{3}$）在反比例函数的图象上，
∴-$\frac{4}{3}$n=-4，
∴n=3，
故答案为：y=-$\frac{4}{x}$，2，3；
（2）∵直线y=ax+b经过点A（-2，2），并且经过反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上另一点C（3，-$\frac{4}{3}$）
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b=2}\\{3a+b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线y=ax+b的解析式为y=-$\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$；
（3）由（2）有，直线AC解析式为y=-$\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$；
∴M（1，0），
∴OM=1，
∴S_△AOC=S△_AOM+S_△COM=$\frac{1}{2}$OM×|y_A|+$\frac{1}{2}$×OM×|y_C|=$\frac{1}{2}$OM（|y_A|+|y_C|）=$\frac{1}{2}$×1×（2+$\frac{4}{3}$）=$\frac{5}{3}$；
（4）存在点P使△PAO为等腰三角形，
理由：设P（0，p），
∵A（-2，2），O（0，0），
∴OA=2$\sqrt{2}$，OP=|p|，PA=$\sqrt{4+（p-2）^{2}}$，
∵△PAO为等腰三角形，
①当OA=OP时，
即：2$\sqrt{2}$=|p|，
∴p=±2$\sqrt{2}$
∴P（0，2$\sqrt{2}$）或（0，-2$\sqrt{2}$）
②当OA=AP时，
即：2$\sqrt{2}$=$\sqrt{4+（p-2）^{2}}$，
∴p=0（舍）或p=4，
∴P（0，4）
③当OP=AP时，
即：|p|=$\sqrt{4+（p-2）^{2}}$，
∴p=2，
∴P（0，2），
∴点P的坐标为P（0，2$\sqrt{2}$）或（0，-2$\sqrt{2}$）或（0，4）或（0，2）．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，解方程，解本题的关键是求出直线AC的解析式和三角形的面积的计算，分类讨论是解本题的难点．