Question

3．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是平行四边形，A点坐标（-6，0），B点坐标（0，6），点C在第一象限，直线y=$\frac{1}{2}$x+2与y轴交与点E，与OC交与点F，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过点F．
（1）求C点坐标及k的值；
（2）动点P从A出发，以$\sqrt{2}$个单位/秒的速度向终点B运动，动点Q从B出发，以1个单位/秒的速度向终点C运动，且点P、点Q同时出发，设运动时间为t，连接PQ，过点Q作PQ的垂线交x轴于点D，连接ED，求线段ED的长；
（3）在（2）的条件下，R为反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上一点，若以P、Q、R、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出此时点R的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得到OA=OB=6，BC=OA=6，于是得到C6，6），求得直线OC的解析式为y=x，根据直线y=$\frac{1}{2}$x+2与y轴交与点E，得到E（0，2），求得F（4，4），于是得到结论；
（2）由题意得AP=$\sqrt{2}$t，BQ=t，于是得到P（t-6，t），Q（t，6），根据待定系数法求得直线PQ的解析式为y=$\frac{6-t}{6}$x+$\frac{{t}^{2}}{6}$-t+6，根据DQ⊥PQ，于是得到直线DQ的斜率为-$\frac{6}{6-t}$，求得直线DQ的解析式为：y=-$\frac{6}{6-t}$x+6+$\frac{6t}{6-t}$，求出D（6，0），于是得到DE=2$\sqrt{10}$；
（3）由（1）（2）知P（t-6，t），Q（t，6），E（0，2），①当以PQ为以P、Q、R、E为顶点的四边形的对角线时，则PQ的中点也是RE的中点，求得中点的坐标（t-3，3+$\frac{1}{2}$t），得到R（2t-6，4+t），由于R为反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上一点，根据反比例函数图象上点的坐标特征，于是得到方程（2t-6）（4+t）=16即可得到结论；②当以PE为以P、Q、R、E为顶点的四边形的对角线时，则PE的中点也是RQ的中点，得到中点的坐标（$\frac{1}{2}$t-3，1+$\frac{1}{2}$t），求得R（-6，2+2t），由于R为反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上一点，根据反比例函数图象上点的坐标特征，得方程求得t=-$\frac{7}{3}$，于是得到此种情况不存在；③当以EQ为以P、Q、R、E为顶点的四边形的对角线时，则EQ的中点也是RP的中点，于是得到中点坐标（$\frac{1}{2}$t，4），求出R（6，8-t），由于R为反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上一点，根据反比例函数图象上点的坐标特征，于是得到方程6×（8-t）=16，即可得到结论．

解答 解：（1）∵A点坐标（-6，0），B点坐标（0，6），
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OA=OB=6，BC=OA=6，
∴C（6，6），
∴直线OC的解析式为：y=x，
∵直线y=$\frac{1}{2}$x+2与y轴交与点E，
∴E（0，2），
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴F（4，4），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过点F，
∴k=16；

（2）由题意得：AP=$\sqrt{2}$t，BQ=t，
∴P（t-6，t），Q（t，6），
∴直线PQ的解析式为：y=$\frac{6-t}{6}$x+$\frac{{t}^{2}}{6}$-t+6，
∵DQ⊥PQ，∴直线DQ的斜率为：-$\frac{6}{6-t}$，
∴直线DQ的解析式为：y=-$\frac{6}{6-t}$x+6+$\frac{6t}{6-t}$，
令y=0，解得x=6，
∴D（6，0），
∴DE=2$\sqrt{10}$，
当t=6时，D（6，0），DE=2$\sqrt{10}$；

（3）由（1）（2）知P（t-6，t），Q（t，6），E（0，2），
①当以PQ为以P、Q、R、E为顶点的四边形的对角线时，则PQ的中点也是RE的中点，
∴中点的坐标（t-3，3+$\frac{1}{2}$t），∴R（2t-6，4+t），
∵R为反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上一点，
∴（2t-6）（4+t）=16，
∴t=4，t=-5（舍去），
∵0＜4＜6，
∴R（2，8）；
②当以PE为以P、Q、R、E为顶点的四边形的对角线时，则PE的中点也是RQ的中点，
∴中点的坐标（$\frac{1}{2}$t-3，1+$\frac{1}{2}$t），
∴R（-6，2+2t），
∵R为反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上一点，
∴（-6）×（2+2t）=16，
∴t=-$\frac{7}{3}$，
∴此种情况不存在；
③当以EQ为以P、Q、R、E为顶点的四边形的对角线时，则EQ的中点也是RP的中点，
∴中点坐标（$\frac{1}{2}$t，4），
∴R（6，8-t），
∵R为反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上一点，
∴6×（8-t）=16，
∴t=$\frac{16}{3}$，
∴0$＜\frac{16}{3}$＜6，
∴R（6，$\frac{8}{3}$），
综上所述：R（2，8）（6，$\frac{8}{3}$）．

点评 本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定和性质，求点的坐标，待定系数法求函数的解析式，一元一次方程的解法，认真审题，弄清题意是解题的关键．