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【题目】已知△ABC,AB=AC=5,BC=8,∠PDQ的顶点D在BC边上,DP交AB边于点E,DQ交AB边于点O且交CA的延长线于点F(点F与点A不重合),设∠PDQ=∠B,BD=3.

(1)求证:△BDE∽△CFD;
(2)设BE=x,OA=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(3)当△AOF是等腰三角形时,求BE的长.

【答案】
(1)

解:∵AB=AC,

∴∠B=∠C,

∵∠EDC=∠B+∠BED,

∴∠FDC+∠EDO=∠B+∠BED,

∵∠EDO=∠B,

∴∠BED=∠EDC,

∵∠B=∠C,

∴△BDE∽△CFD


(2)

解:过点D作DM∥AB交AC于M(如图1中).

∵△BDE∽△CFD,

,∵BC=8,BD=3,BE=x,

∴FC=

∵DM∥AB,

,即 =

∴DM=

∵DM∥AB,

∴∠B=∠MDC,

∴∠MDC=∠C,

∴CM=DM= ,FM=

∵DM∥AB,

= ,即 =

∴y= (0<x<3)


(3)

解:①当AO=AF时,

由(2)可知AO=y= ,AF=FC﹣AC= ﹣5,

= ﹣5,解得x=

∴BE=

②当FO=FA时,易知DO=AM= ,作DH⊥AB于H(如图2中),

BH=BDcos∠B=3× =

DH=BDsin∠B=3× =

∴HO= =

∴OA=AB﹣BH﹣HO=

由(2)可知y= ,即 = ,解得x=

∴BE=

③当OA=OF时,设DP与CA的延长线交于点N(如图3中).

∴∠OAF=∠OFA,∠B=∠C=∠ANE,

由△ABC≌△CDN,可得CN=BC=8,ND=5,

由△BDE≌△NAE,可得NE=BE=x,ED=5﹣x,

作EG⊥BC于G,则BG= x,EG= x,

∴GD=

∴BG+GD= x+ =3,

∴x= >3(舍弃),

综上所述,当△OAF是等腰三角形时,BE=


【解析】(1)根据两角对应相等两三角形相似即可证明.(2)过点D作DM∥AB交AC于M(如图1中).由△BDE∽△CFD,得 ,推出FC= ,由DM∥AB,得 ,推出DM= ,由DM∥AB,推出∠B=∠MDC,∠MDC=∠C,CM=DM= ,FM= ,于DM∥AB,得 ,代入化简即可.(3)分三种情形讨论①当AO=AF时,②当FO=FA时,③当OA=OF时,分别计算即可.

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【题目】去年6月某日自治区部分市、县的最高气温(℃)如下表:

区县

吐鲁番

塔城

和田

伊宁

库尔勒

阿克苏

昌吉

呼图壁

鄯善

哈密

气温(℃)

33

32

32

30

30

29

29

31

30

28

则这10个市、县该日最高气温的众数和中位数分别是(
A.32,32
B.32,30
C.30,30
D.30,32

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(1) (2) (3)
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(3)在平移过程中,若⊙O经过AB的中点G时, EFOC上的两个动点,且EF=1.6,当四边形AGEF的周长最小时,试求OE的长度.

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B.y=x+1
C.y=x+2
D.y=x+3

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A.A→O→B
B.B→A→C
C.B→O→C
D.C→B→O

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