Question

已知一正十二边形内接于半径为12的圆，此十二边形的所有边长和对角线长的和可以写成a+b

2

+c

3

+d

6

，求a+b+c+d的值．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：作出图形，求出正十二边形边长所对的圆心角为30°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠FAG=15°，然后解直角三角形求出边长FG，根据等边三角形三条边都相等求出AC，根据等腰直角三角形的性质求出AD，利用30°角的余弦列式求出AE，AF，然后求出过一个顶点的所有对角线的长度的和，再求出所有对角线的长度，然后列出边长与对角线的长的和，根据对应项的系数相等求出a、b、c、d，最后根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．

解答：解：如图，∵多边形是正十二边形，
∴边长所对的圆心角为30°为360°÷12=30°，
边长所对的圆周角=30°÷2=15°，
∴∠FAG=

1

2

×30°=15°，
∵圆的半径为12，
∴边长FG=2×12•sin15°=24×

6 - 2

4

=6

6

-6

2

，
∵∠AOC=30°×2=60°，
∴AC=AO=12，
∵∠AOD=30°×3=90°，
∴AD=

2

AO=12

2

，
∵∠EAG=15°×2=30°，
∴AE=2×12•cos30°=24×

3

2

=12

3

，
AF=2×12•cos15°=24×

6 + 2

2

=6

6

+6

2

，
∴过点A的所有对角线的长度的和=2（12+12

2

+12

3

+6

6

+6

2

）+2×12=48+36

2

+24

3

+12

6

，
∵正十二边形共有12个顶点，且两个顶点间的对角线重复一次，
∴所有对角线的长度的和=

12

2

（48+36

2

+24

3

+12

6

）=288+216

2

+144

3

+72

6

，
∴十二边形的所有边长和对角线长的和为：12（6

6

-6

2

）+288+216

2

+144

3

+72

6

=288+144

2

+144

3

+144

6

，
又∵此十二边形的所有边长和对角线长的和可以写成a+b

2

+c

3

+d

6

，
∴a=288，b=144，c=144，d=144，
∴a+b+c+d=288+144+144+144=720．

点评：本题考查了正多边形和圆，主要利用了正多边形边长所对的圆心角和圆周角的求解，解直角三角形，多边形的对角线的条数，综合性较强，15°角的正弦和余弦不常用，要注意灵活运用．