Question

8．如图，分别作外角∠CBD和∠BCE的平分线BF和CF，交与点F，那么∠A与∠F之间的关系是∠F=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

Answer 1

分析 先由角平分线定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形内角和定理和三角形外角性质得∠1+∠2=∠A+∠ACB，∠ACB=180°-（∠3+∠4），则2∠1=∠A+180°-2∠3，变形得到2（∠1+∠3）=180°+∠A，接着在△BCF中，利用三角形内角和定理有∠1+∠3=180°-∠F，所以2（180°-∠F）=180°+∠A，然后变形即可得到∠F=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

解答 解：∵外角∠CBD和∠BCE的平分线BF和CF，交与点F，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2=∠A+∠ACB，
而∠ACB=180°-（∠3+∠4），
∴2∠1=∠A+180°-2∠3，
∴2（∠1+∠3）=180°+∠A，
∵∠1+∠3+∠F=180°，
∴∠1+∠3=180°-∠F，
∴2（180°-∠F）=180°+∠A，
∴∠F=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
故答案为∠F=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．解答的关键是沟通外角和内角的关系．