【题目】如图,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕A点旋转到AF的位置,使得∠CAF=∠BAE,连接EF,EF与AC交于点G.
(1)求证:EF=BC;
(2)若∠ABC=62°,∠ACB=29°,求∠FGC的度数.
【答案】(1)见解析;(2)85°.
【解析】
(1)由旋转的性质可得AC=AF,利用SAS证明△ABC≌△AEF,根据全等三角形的对应边相等即可得出EF=BC;
(2)根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE=180°-62°×2=56°,那么∠FAG=56°.由△ABC≌△AEF,得出∠F=∠ACB=29°,再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC=∠FAG+∠F=85°.
(1)证明:∵∠CAF=∠BAE,
∴∠BAC=∠EAF.
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置,
∴AC=AF.
在△ABC与△AEF中,
,
∴△ABC≌△AEF(SAS),
∴EF=BC;
(2)解:∵AB=AE,∠ABC=62°,
∴∠BAE=180°-62°×2=56°,
∴∠CAF=∠BAE =56°.
∵△ABC≌△AEF,
∴∠F=∠ACB=29°,
∴∠FGC=∠CAF+∠F=56°+29°=85°.
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【题目】如图,在△ABC与△DBC中,∠ACB=∠DBC=90°,E是BC的中点,EF⊥AB,AB=DE.
(1)求证:BC=DB;
(2)若BD=8cm,求AC的长.
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
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【题目】如图7,已知平行四边形ABCD的周长是32cm,AB︰BC=5︰3,AE⊥BC,垂足为E,AF⊥CD,垂足为F,∠EAF=2∠C.
(1)求∠C的度数;
(2)已知DF的长是关于的方程--6=0的一个根,求该方程的另一个根.
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【题目】如图,抛物线y1=a(x+2)2+m过原点,与抛物线y2=(x﹣3)2+n交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.下列结论:①两条抛物线的对称轴距离为5;②x=0时,y2=5;③当x>3时,y1﹣y2>0;④y轴是线段BC的中垂线.正确结论是________(填写正确结论的序号).
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【题目】某企业加工一台大型机械设备润滑用油千克,用油的重复利用率为,按此计算,加工一台大型机械设备的实际耗油量为千克.通过技术革新后,不仅降低了润滑用油量,同时也提高了用油的重复利用率,并且发现润滑用油量每减少千克,用油量的重复利用率增加,这样加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到千克,问技术革新后,加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少?
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【题目】在甲村至乙村间有一条公路,在C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图所示.为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险?请用你学过的知识加以解答.
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