Question

【题目】在平面直角坐标系中画出两条相交直线y＝x和y＝kx＋b，交点为(x0 ， y0)，在x轴上表示出不与x0重合的x1 ， 先在直线y＝kx＋b上确定点(x1 ， y1)，再在直线y＝x上确定纵坐标为y1的点(x2 ， y1)，然后在x轴上确定对应的数x2 ， …，依次类推到(xn ， yn－1)，我们来研究随着n的不断增加，xn的变化情况．如图1(注意：图在下页上)，若k＝2，b＝—4，随着n的不断增加，xn逐渐(填“靠近”或“远离”)x0；如图2，若k＝ ，b＝2，随着n的不断增加，xn逐渐(填“靠近”或“远离”)x0；若随着n的不断增加，xn逐渐靠近x0 ， 则k的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】远离；靠近；－1＜k＜1且k≠0
【解析】（1）由分析可知第1空填“远离”，（2）第2空填“靠近”；
（3）联立方程组解得
即.
I.当k>1时，y=kx+b随着x的增大而增大，
则x>x0时kx+b>x
取x1>x0 ， 则kx1+b>x1,即y1=kx1+b>x1;
由题意得x2=y1=kx1+b>x1,
同理，x3=y2=kx2+b>x2,
……
xn=yn-1=kxn-1+b>xn-1,
所以得到一组点（x1,y1),(x2,y1),(x2,y2),…，(xn,yn-1) ，
且x0<x1<x2<x3<…<xn，
则k>1时，随着n的不断增加，xn逐渐远离x0；
同理可得，当k<-1时，随着n的不断增加，xn逐渐远离x0
II.当0<k<1时，y=kx+b随着x的增大而增大，
则x>x0时kx+b<x
取x1>x0 ， 则x0<kx1+b<x1,即x0=y0<y1=kx1+b<x1;
由题意得x2=y1=kx1+b,则x0<x2<x1,
同理，x3=y2=kx2+b<x2,则x0<x3<x2,
……
xn=yn-1=kxn-1+b<xn-1,则x0<xn<xn-1,
所以得到一组点（x1,y1),(x2,y1),(x2,y2),…，(xn,yn-1) ，
且x0<xn<xn-1<…<x3<x2<x1，
则0<k<1时，随着n的不断增加，xn逐渐靠近x0；
同理可得，当-1<k<0时，随着n的不断增加，xn逐渐靠近x0.
综上－1＜k＜1且k≠0时，随着n的不断增加，xn逐渐靠近x0.
故答案为－1＜k＜1且k≠0.
根据图1和图2，观察(xn ， yn-1)的位置，
（1）容易看到图1中的(xn ， yn-1)与(x0 ， y0)越来越远；
（2）容易看到图2中的(xn ， yn-1)与(x0 ， y0)越来越靠近；
（3）根据图1和图2的例子，可以分k>1,k<-1,0<k<1和-1<k<0分类讨论，求出xn的值变化情况即可.