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【题目】在矩形ABCD中,点FAD延长线上,且DFDCMAB边上一点,NMD的中点,点E在直线CF上,且BNNE

1)如图1,若ABBC6BMABE为线段FC上的点,试求NE的长;

2)如图2,若ABBCE为线段FC延长线上的点,连结BE,求证:BENE

【答案】(1)NE5;(2)证明见解析

【解析】

1)延长BNCD的延长线于点G,连接BEGE,过EEHCE,由AAS证明△BMN≌△GDN,得出BMDGBNGN,由勾股定理求出BG,即可得出答案;
2)延长BNCD的延长线于点G,连接GEGEAD于点Q,过EEHCE,交DC的延长线于点H,由AAS证得△BMN≌△GDN,得出BNNGNE,则△BEG是直角三角形,∠BEG90°,再由ASA证得△ECB≌△EHG得出EBEG,证得△BNE是等腰直角三角形,即可得出结论.

1)解:延长BNCD的延长线于点G,连接BEGE,过EEHCE,交CD于点H

∵四边形ABCD是矩形,ABBC6

∴∠BCD90°ABCG,四边形ABCD是正方形,

∴∠MBN=∠DGNCDBC6

NMD的中点,

MNDN.在BMNGDN中,

∴△BMN≌△GDNAAS).

BMDGBNGN

BMAB2

DG2

CGCD+DG8

RtBCG中,由勾股定理得:BG10

BNBG5

BNNE

NE5

2)证明:延长BNCD的延长线于点G,连接GEGEAD于点Q,过EEHCE,交DC的延长线于点H,如图2所示:

∵四边形ABCD是矩形,

ABCG

∴∠MBN=∠DGN,∠BMN=∠GDN

NMD的中点,

MNDN

BMNGDN中,

∴△BMN≌△GDNAAS),

BNNGNE

∴△BEG是直角三角形,∠BEG90°

EHCE

∴∠CEH90°

∴∠BEG=∠CEH

∴∠BEC=∠GEH

DFDC,∠CDF90°

∴∠DCF45°

∴∠CHE=∠HCE45°

ECEH

∵∠ECB=∠HCB﹣∠HCE90°45°45°

∴∠ECB=∠EHG,在ECBEHG中,

∴△ECB≌△EHGASA),

EBEG

BNNG

BNNE

∴△BNE是等腰直角三角形,

BENE

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解答下列问题:

(1)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?

(2)连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;是否存在某一时刻t,使面积y最小?若存在,求出y的最小值;若不存在,说明理由.

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