【题目】在矩形ABCD中,点F在AD延长线上,且DF=DC,M为AB边上一点,N为MD的中点,点E在直线CF上,且BN=NE.
(1)如图1,若AB=BC=6,BM=AB,E为线段FC上的点,试求NE的长;
(2)如图2,若AB<BC,E为线段FC延长线上的点,连结BE,求证:BE=NE.
【答案】(1)NE=5;(2)证明见解析
【解析】
(1)延长BN交CD的延长线于点G,连接BE、GE,过E作EH⊥CE,由AAS证明△BMN≌△GDN,得出BM=DG,BN=GN,由勾股定理求出BG,即可得出答案;
(2)延长BN交CD的延长线于点G,连接GE,GE交AD于点Q,过E作EH⊥CE,交DC的延长线于点H,由AAS证得△BMN≌△GDN,得出BN=NG=NE,则△BEG是直角三角形,∠BEG=90°,再由ASA证得△ECB≌△EHG得出EB=EG,证得△BNE是等腰直角三角形,即可得出结论.
(1)解:延长BN交CD的延长线于点G,连接BE、GE,过E作EH⊥CE,交CD于点H.
∵四边形ABCD是矩形,AB=BC=6,
∴∠BCD=90°,AB∥CG,四边形ABCD是正方形,
∴∠MBN=∠DGN,CD=BC=6,
∵N为MD的中点,
∴MN=DN.在△BMN和△GDN中, ,
∴△BMN≌△GDN(AAS).
∴BM=DG,BN=GN.
∵BM=AB=2,
∴DG=2,
∴CG=CD+DG=8,
在Rt△BCG中,由勾股定理得:BG===10,
∴BN=BG=5,
∵BN=NE,
∴NE=5;
(2)证明:延长BN交CD的延长线于点G,连接GE,GE交AD于点Q,过E作EH⊥CE,交DC的延长线于点H,如图2所示:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CG,
∴∠MBN=∠DGN,∠BMN=∠GDN,
∵N为MD的中点,
∴MN=DN,
在△BMN和△GDN中,,
∴△BMN≌△GDN(AAS),
∴BN=NG=NE,
∴△BEG是直角三角形,∠BEG=90°,
∵EH⊥CE,
∴∠CEH=90°.
∴∠BEG=∠CEH,
∴∠BEC=∠GEH,
∵DF=DC,∠CDF=90°,
∴∠DCF=45°,
∴∠CHE=∠HCE=45°,
∴EC=EH,
∵∠ECB=∠HCB﹣∠HCE=90°﹣45°=45°,
∴∠ECB=∠EHG,在△ECB和△EHG中,,
∴△ECB≌△EHG(ASA),
∴EB=EG,
∵BN=NG,
∴BN⊥NE,
∴△BNE是等腰直角三角形,
∴BE=NE.
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【题目】(本小题满分12分)
已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.∠ACB = ∠EDF = 90°,∠DEF = 45°,AC = 8 cm,BC = 6 cm,EF = 9 cm.
如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时,△DEF停止移动,点P也随之停止移动.DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s)(0<t<4.5).
解答下列问题:
(1)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?
(2)连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;是否存在某一时刻t,使面积y最小?若存在,求出y的最小值;若不存在,说明理由.
(3)是否存在某一时刻t,使P、Q、F三点在同一条直线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x的顶点为A点,且与x轴的正半轴交于点B,P点为该抛物线对称轴上一点,则OP+AP的最小值为( ).
A. 3 B. C. D.
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【题目】如图,⊙O的半径为6cm,B为⊙O外一点,OB交⊙O于点A,AB=OA,动点P从点A出发,以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止.当点P运动的时间为______时,BP与⊙O相切.
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【题目】如图,在平面直角坐标中,D是正方形ABCO的边AB上一点,以OD为边的等边△ODE,点E在x轴正半轴上,若点B的坐标为(3,3),则点E的坐标为_____.
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【题目】某网店专售一款电动牙刷,其成本为20元/支,销售中发现,该商品每天的销售量y(支)与销售单价x(元/支)之间存在如图所示的关系.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)由于湖北省武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎(简称“新冠肺炎”)疫情,该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐献给武汉,为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元,如何确定这款电动牙刷的销售单价?
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【题目】数学课上,李老师准备了四张背面都一样的卡片A、B、C、D,每张卡片的正面标有字母a、b、c表示三条线段(如下图).把四张卡片背面朝上放在桌面上,李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回,再随机抽取一张.
⑴ 李老师随机抽取一张卡片,抽到卡片B的概率等于 ;
⑵ 求李老师抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率.
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