Question

17．矩形ABCD中，E，F分别是CD，AB中点，连EF，沿AH折叠，B落在EF的G处，HG的延长线过D，证明：△AHD为等边三角形．

Answer 1

分析 首先求证四边形AFED和四边形FBCE是矩形，利用平行线分线段成比例得出GH=GD，利用折叠，证得BH=GH=GD，∠B=∠AGH=∠AGD=90°，证得△ABH≌△AGH≌△AGD，求得∠DAH=60°，AH=AD，利用等边三角形的判定得出答案．

解答 证明：∵矩形ABCD中，E，F分别是CD，AB中点，
∴四边形AFED和四边形FBCE是矩形，DE=CE，
∴AD∥EF∥BC，
∴DG=GH，
∵沿AH折叠，B落在EF的G处，∠B=90°，
∴AB=AG，BH=GH，∠B=∠AGH=∠AGD=90°，
∴BH=GH=GD，
在△ABH、△AGH和△AGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG=AG}\\{∠B=∠AGH=∠AGD}\\{BH=GH=GD}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△AGH≌△AGD，
∴AH=AD，∠BAH=∠GAH=∠DAG=30°，
∴∠DAH=60°，
∴△AHD为等边三角形．

点评 此题考查翻折的性质，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定，掌握翻折的性质是解决问题的关键．