Question

如图，已知直角△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E在线段BC上且DE=BE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连结OE，若AC=6，求OE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）证明：连接0E，0D，根据BO=OD，DE=BE，OE=OE，可证明△DOE≌△BOE，即可得出∠ODE=∠ABC=90°，再由点D在圆上，即可得出DE是⊙O的切线；
（2）可证明OE是△ABC的中位线，可得出OE=3．

解答：（1）证明：连接OE，OD，
在△DOE和△BOE中，

OD=OB DE=BE OE=OE

，
∴△DOE≌△BOE，
∴∠ODE=∠ABC=90°°，
∵点D在圆上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
又∵∠A+∠C=90°，∠A=∠ODA，
∴∠C=∠CDE，
∴CE=DE，
∴点E为BC的中点，
∵O为AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∵AC=6，
∴OE=3．

点评：本题考查了切线的判定和性质以及三角形的中位线定理，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．