Question

如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
（1）求证：CM=CN；
（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，且CD=4，求线段MN的长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，由四边形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，则可证得∠CMN=∠CNM，继而可得CM=CN；
（2）首先过点N作NH⊥BC于点H，由△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，易得MC=3ND=3HC，然后设DN=x，在Rt△CDN中，由勾股定理，求得CD=2

2

x，则x=

2

，然后在Rt△MNH中，由勾股定理即可求得MN的长．

解答：（1）证明：由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠CMN=∠CNM，
∴CM=CN；

（2）解：过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形．
∴HC=DN，NH=DC．
∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，
∴MC=3ND=3HC．
∴MH=2HC．
设DN=x，则HC=x，MH=2x，
∴CM=3x=CN，
在Rt△CDN中，CD=

(3x)2-x2

=2

2

x=4，
∴x=

2

．
∴MH=2

2

．
在Rt△MNH中，MN=

MH2+NH2

=

8+16

=2

6

．

点评：此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与方程思想的应用．