Question

一张矩形纸片ABCD，两边AB=2cm，AD=8cm．如图，矩形纸条两侧分别沿EF，HG折叠，点A，B，C，D的落点分别为A′，B′，C′和D′，且GC′与A′E在同一条直线上．
（1）求证：GE=FG；
（2）若∠AEF=75°，试求△EFG的面积；
（3）若点A′和点C′重合，试求线段EG的长．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据矩形的性质和轴对称的性质就可以得出∠GEF=∠GFE就可以得出结论；
（2）过点E作EM⊥BC于M，就可以得出∠EGF=30°，由直角三角形的性质就可以得出EG的值，再由三角形的面积公式就可以得出结论；
（3）如图2，当点A′与C′重合时，设AE=A′E=x，GC=GC′=y，过E作EM⊥BC于M，在Rt△CMG中，由勾股定理就可以求出x+y的值而得出结论．

解答：解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF=∠GFE．
∵四边形ABFE与四边形A′B′FE关于EF对称，
∴四边形ABFE≌四边形A′B′FE，
∴∠AEF=∠GEF，
∴∠GEF=∠GFE，
∴GE=GF；
（2）过点E作EM⊥BC于M，
∴∠EMG=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°．
∴四边形ABME为矩形，
∴EM=AB=2．
∵∠AEF=75°，
∴∠GEF=75°，
∴∠DEG=30°．
∵AD∥BC，
∴∠DEG=∠BGE，
∴∠BGE=30°，
∴GE=2EM=4，
∴GF=4．
∴S_△EFG=

1

2

×4×2=4cm²；
（3）如图2，当点A′与C′重合时，设AE=A′E=x，GC=GC′=y，过E作EM⊥BC于M，
∴∠EMG=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°．
∴四边形ABME为矩形，
∴EM=AB=2．AE=BM=x．
∴MG=8-x-y，EG=x+y．
在Rt△MGE中，由勾股定理，得
2²+（8-x-y）²=（x+y）²，
∴x+y=

17

4

．
即EG=

17

4

cm．

点评：本题考查了矩形的性质的运用，轴对称的性质的运用，三角形的面积公式的运用，直角三角形的性质的运用，勾股定理的性质的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．