Question

已知抛物线C₁：y=x²-2mx+n（m，n为常数，且m≠0，n＜0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C₂与抛物线C₁关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB．

（1）请直接写出抛物线C₂的解析式；
（2）当m=1时，判定△ABC的形状，并说明理由；
（3）当△ABC为等边三角形时，请求出m的值；并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线C₁、C₂关于y轴对称，抛物线C₁：y=x²-2mx+n，
∴抛物线C₂的解析式为：y=（-x）²-2m（-x）+n，即y=x²+2mx+n；

（2）当m=1时，△ABC为等腰直角三角形．理由如下：
如图，设AB与y轴交于点D．
∵抛物线C₁、C₂关于y轴对称，
∴顶点A与顶点B关于y轴对称，
又∵点C、D都在y轴上，
∴AC=BC，CD⊥AB，∠BCD=∠ACD．
当m=1时，∵抛物线C₁：y=x²-2x+n=（x-1）²+n-1，
∴顶点A的坐标为A（1，n-1），
∴D点坐标为（0，n-1），AD=1．
又∵点C的坐标为（0，n），
∴CD=n-（n-1）=1，
∴AD=CD，
∴∠ACD=45°，
∴∠BCD=∠ACD=45°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形；

（3）∵抛物线C₁：y=x²-2mx+n=（x-m）²+n-m²，
∴顶点A的坐标为A（m，n-m²），
∴D点坐标为（0，n-m²），AD=|m|．
又∵点C的坐标为（0，n），
∴CD=n-（n-m²）=m²．
当△ABC为等边三角形时，∠CAD=60°．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴tan∠CAD===|m|，
∴|m|=，
∴m=±．
分析：（1）根据轴对称的性质可得：关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可求得；
（2）设AB与y轴交于点D，先由轴对称的性质得出AC=BC，则△ABC是等腰三角形，再根据m=1时，可得AD=CD=1，∠BCD=∠ACD=45°，从而得出△ABC为等腰直角三角形；
（3）先求出AD=|m|，CD=m²，再根据△ABC为等边三角形得出∠CAD=60°，然后在Rt△ACD中利用正切函数的定义列出关于m的方程，解方程即可．
点评：此题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，等边三角形的性质，锐角三角函数的定义等知识，综合性较强，难度适中．注意数形结合思想的应用．