Question

14．如图，AC⊥BC，AC=BC=2，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作⊙C，过点O作BC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是$\frac{5}{12}$π-$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图，图中S_阴影=S_扇形ACB-S_扇形AOD-S_扇形ECB-S_△OCE．根据已知条件易求得OA=OC=OD=2，BC=CE=4．∠ECB=∠OEC=30°，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．

解答 解：如图，连接CE．
∵AC⊥BC，AC=BC=2，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作$\widehat{AB}$，
∴∠ACB=90°，OA=OC=OD=1，BC=CE=2．
又∵OE∥BC，
∴∠AOE=∠COE=90°．
∴在直角△OEC中，OC=$\frac{1}{2}$CE，
∴∠OEC=30°，OE=$\sqrt{3}$．
∴∠ECB=∠OEC=30°，
∴S_阴影=S_扇形ACB-S_扇形AOD-S_扇形ECB-S_△OCE
=$\frac{90π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{90π×{1}^{2}}{360}$-$\frac{30π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$
=$\frac{5}{12}$π-$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$．
故答案为$\frac{5}{12}$π-$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．