如图.在坐标系xOy中.△ABC是等腰直角三角形.∠BAC=90°.A.抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+bx-2的图象过C点．(1)求抛物线的解析式,(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l.若直线l恰好将△ABC的面积分为1:2两部分.请求出此时直线l与x轴的交点坐标?(3)点将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折180°.得到△AB′C.那么在抛物线上是否存在点P.使� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2的图象过C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l，若直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分，请求出此时直线l与x轴的交点坐标？
（3）点将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折180°，得到△AB′C，那么在抛物线上是否存在点P，使△PB′C是以B′C为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，说明理由．

分析（1）过点C作CD⊥x轴于点D，根据△AOB≌△CDA求出CD、OD得出C（3，1），再代入抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2即可，
（2）先求出S_△ABC，求出直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+2，同理求得直线AC、AB的解析式，设直线l与x轴交点坐标为（x，0），设直线l与BC、AC分别交于点F、E，根据S_△CEF=$\frac{1}{3}$S_△ABC，得出$\frac{1}{2}$（$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{6}$x）•（3-x）=$\frac{1}{3}$×$\frac{5}{2}$，求出x即可，设直线l与BC、AB分别交于点F、E，根据S_△BEF=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
得出$\frac{1}{2}$•$\frac{5}{3}$x•x=$\frac{1}{3}$×$\frac{5}{2}$求出x即可，
（3）延长CB交抛物线于点P₃，过点B′作B′P₁⊥BC，交抛物线于点P₁、P₂，设直线B′P₁的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x+b，过点B′作B′M⊥x轴于点M，
根据△AOB≌△AMB′求出B′的坐标，得出直线B′P₁的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$，再根据$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x-2}\end{array}\right.$得出P₁、P₂的坐标，根据$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+2}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x-2}\end{array}\right.$得出P₃的坐标．

解答解：（1）如图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，
∵∠BOA=∠ADC=90°，
在△AOB和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠ACD}\\{∠AOB=∠ADC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△CDA（AAS）．
∴CD=OA=1，AD=OB=2，
∴OD=OA+AD=3，
∴C（3，1）．
∵点C（3，1）在抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2上，
∴1=$\frac{1}{2}$×9+3b-2，解得：b=-?$\frac{1}{2}$．
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-2；
（2）在Rt△AOB中，
∵OA=1，OB=2，
∴AB=$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB²=$\frac{5}{2}$．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B（0，2），C（3，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{3}$，b=2，
∴y=-$\frac{1}{3}$x+2．
同理求得直线AC的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
直线AB的解析式为：y=-2x+2，
设直线l与x轴交点坐标为（x，0）
如图2：设直线l与BC、AC分别交于点F、E，则EF=（-$\frac{1}{3}$?x+2）-（$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{6}$x．
△CEF中，EF边上的高h=OD-x=3-x．
由题意得：S_△CEF=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
即：$\frac{1}{2}$EF•h=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{6}$x）•（3-x）=$\frac{1}{3}$×$\frac{5}{2}$，
解得x₁=3-$\sqrt{2}$，x₂=3+?$\sqrt{2}$（不合题意，舍去），
如图3：设直线l与BC、AB分别交于点F、E，
则EF=（-$\frac{1}{3}$x+2）-（-2 x+2）=$\frac{5}{3}$x
△BEF中，EF边上的高h=x．
由题意得：S_△BEF=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
即：$\frac{1}{2}$EF•h=$\frac{1}{3}$S_△ABC，$\frac{1}{2}$•$\frac{5}{3}$x•x=$\frac{1}{3}$×$\frac{5}{2}$
解得x₁=1，x₂=-1（不合题意，舍去）
当直线l与x轴交点坐标为（1，0）或（3-$\sqrt{2}$，0）时，恰好将△ABC的面积分为1：2的两部分，
（3）存在．
如图4，延长CB交抛物线于点P₃，过点B′作B′P₁⊥BC，交抛物线于点P₁、P₂，
则CB∥B′P₁，
设直线B′P₁的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x+b，
过点B′作B′M⊥x轴于点M，
在△AOB和△AMB′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠B′AM}\\{∠BOA=∠AMB′}\\{AB=AB′}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△AMB′（AAS），
∴B′M=BO=2，
AM=AO=1，
∴B′的坐标为（2，-2），
∴-2=-$\frac{1}{3}$×2+b，
∴b=-$\frac{4}{3}$，
∴直线B′P₁的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=-\frac{16}{9}}\end{array}\right.$，
∴P₁的坐标是（-1，-1），P₂的坐标是$（\frac{4}{3}，-\frac{16}{9}）$，
∵∠ACB=∠ACB′=45°，
∴∠B′CP₃=90°，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+2}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x-2}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$（舍去），或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8}{3}}\\{y=\frac{26}{9}}\end{array}\right.$，
∴P₃的坐标是$（-\frac{8}{3}，\frac{26}{9}）$，
∴P点坐标是P₁（-1，-1），P₂$（\frac{4}{3}，-\frac{16}{9}）$，P₃$（-\frac{8}{3}，\frac{26}{9}）$．

点评此题考查了二次函数综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数、全等三角形的判定与性质，关键是根据题意画出图形，注意求出所有符合条件的点．

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