Question

如图，在圆心角为120°的弧ACB的两端引相交于点D的两条切线，⊙O′与AD、BD、

ACB

都相切，请比较⊙O′的周长与弧ACB的长的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：切线的性质,弧长的计算

专题：

分析：连接O'E，设⊙O的半径是R，则弧ACB的长是：

120πR

180

=

2πR

3

，设⊙O'的半径是r，利用相切两圆的圆心距等于两圆的半径的和以及直角三角形的性质，利用R表示出r，求得⊙O′的周长，从而进行比较．

解答：解：连接O'E，
∵AD是圆的切线，
∴OA⊥AD，O'E⊥AD，
∴OA∥O'E．
设⊙O的半径是R，则弧ACB的长是：

120πR

180

=

2πR

3

，
设⊙O'的半径是r，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，∠EO'D=60°，
∴∠ODA=30°，
∴OD=2OA=2R，O'D=2O'D=2r，
又OO'=R+r，
∴R+r+2r=2R，
则r=

R

3

，
则较⊙O′的周长是2πr=

2πR

3

．
则⊙O′的周长与弧ACB的长相等．

点评：本题考查了切线的性质定理，以及相切的量圆的性质，利用R表示出r是关键．