Question

如图，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，CD⊥AD，点E是BC的中点．
求证：
（1）DE∥AB；
（2）DE=

1

2

（AB-AC）．

Answer 1

分析：延长CD交AB于点F，然后利用“角边角”证明△ADC和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=DF，AC=AF，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半即可证明．

解答：证明：如图，延长CD交AB于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠FAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADF=90°，
在△ADC和△ADF中，

∠CAD=∠FAD AD=AD ∠ADC=∠ADF=90°

，
∴△ADC≌△ADF（ASA），
∴CD=DF，AC=AF，
∵点E是BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴（1）DE∥AB；
（2）DE=

1

2

BF，
∵BF=AB-AF=AB-AC，
∴DE=

1

2

（AB-AC）．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，作辅助线并证明DE是三角形的中位线是解题的关键．