Question

如图，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D．求：
（1）AD的长；
（2）△BCD的面积．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：（1）首先过点C作CE⊥AD于点E，由∠ACB=90°，AC=2，BC=4，可求得AB的长，又由直角三角形斜边上的高等于两直角边乘积除以斜边，即可求得CE的长，由勾股定理求得AE的长，然后由垂径定理求得AD的长；
（2）由AB-AD，即可求得BD的长，继而求得答案．

解答：解：（1）过点C作CE⊥AD于点E，
则AE=DE，
∵∠ACB=90°，AC=2，BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=2

5

，
∴CE=

AC•BC

AB

=

4 5

5

，
∴AE=

AC2-CE2

=

2 5

5

，
∴AD=2AE=

4 5

5

；

（2）∵AB=2

5

，AD=

4 5

5

，
∴BD=AB-AD=

6 5

5

，
∴S_△BCD=

1

2

BD•CE=

1

2

×

4 5

5

×

6 5

5

=

12

5

．

点评：此题考查了垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．