Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（2，3）为二次函数y=ax²+bx-2（a≠0）与反比例函数y=

k

x

(k≠0)在第一象限的交点，已知该抛物线y=ax²+bx-2（a≠0）交x轴正负半轴分别于E点、D点，交y轴负半轴于B点，且tan∠ADE=

1

2

．
（1）求二次函数和反比例函数的解析式；
（2）已知点M为抛物线上一点，且在第三象限，顺次连接点D、M、B、E，求四边形DMBE面积的最大值；
（3）在（2）中四边形DMBE面积最大的条件下，过点M作MH⊥x轴于点H，交EB的延长线于点F，Q为线段HF上一点，且点Q到直线BE的距离等于线段OQ的长，求Q点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A（2，3）代入反比例函数的解析式即可求出k的值；由条件tan∠ADE=

1

2

可求出D的坐标，把A和D点的坐标代入到y=ax²+bx-2（a≠0）中求出a和b的值即可去吃二次函数的解析式；
（2）过M作MH⊥DE于H，设M的坐标为（a，

1

2

a²+

3

2

a-2），由题意可知S_{四边形DMBE}=S_△DHM+S_{四边形HOBM}+S_△OEB，进而得到S和a的二次函数关系，由函数的性质即可求出四边形DMBE面积的最大值；
（3）首先由抛物线的解析式可求出抛物线的对称轴，设过EB的直线为y=kx+b，由E和B的坐标即可求出其解析式，再通过△QPE∽△EHF，得到

QP

EH

=

QF

EF

，进而求出b的值，又Q在线段HF上，所以Q点的坐标可求出．

解答：解：（1）将A（2，3）代入y=

k

x

中，
解得：k=6，
∴y=

6

x

，
又∵且tan∠ADE=

1

2

，
∴D（-4，0），
将A，D代入y=ax²+bx-2（a≠0）中得：

4a+2b-2=3 16a-4b-2=0

，
解得：

a= 1 2 b= 3 2

，
∴y=

1

2

x²+

3

2

x-2；

（2）过M作MH⊥DE于H，设M的坐标为（a，

1

2

a²+

3

2

a-2），
则S_{四边形DMBE}=S_△DHM+S_{四边形HOBM}+S_△OEB，
=

(a+4)•MH

2

+

(2+MH)•(-a)

2

+

1×2

2

，
=

aMH+4MH-2a-aMH

2

+1=2MH-a+1，
=2（-

1

2

a²-

3

2

a+2）-a+1，
=-a²-4a+5，
=-（a+2）²+9，
∴当a=-2时，四边形DMBE的面积最大为9；

（3）∵y=

1

2

x²+

3

2

x-2，
∴抛物线的对称轴为x=-

b

2a

=-

3

2

，
∴点E的坐标为（1，0），
又∵B（0，-2），
∴EB的解析式为y=2x-2，
∴F的坐标为（-2，-6），
∴EF=

32+62

=3

5

，
设Q（-2，b），
∴FQ=b+6，QP=OQ=

4+b2

，
∵△QPF∽△EHF，
∴

QP

EH

=

QF

EF

，
∴

4+b2

3

=

b+6

3 5

，
∴20+5b²=（b+6）²，
∴b²-3b-4=0，
∴b₁=4（舍），b₂=-1，
又∵Q在线段HF上，
∴Q（-2，-1）．

点评：此题考查了用待定系数法求二次函数、一次函数、反比例函数的解析式以及各种函数的性质和相似三角形的判定及其性质和一元二次方程的求解，题目的综合性很强，难度不小，对学生的解题能力要求很高．