Question

13．直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴，y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象相交于点C（2，3）．点P是反比例函数图象上一点，作PE垂直x轴于E，若以P、O、E为顶点的三角形与△AOB相似，则点P的坐标是（2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴，y轴分别相交于A、B两点，求得OA=4，OB=2，由点C（2，3）在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，求出反比例函数的解析式为：y=$\frac{6}{x}$（x＞0），设P（a，$\frac{6}{a}$），求得PE=$\frac{6}{a}$，OE=a，根据相似三角形的性质列比例式即可得到结论．

解答 解：∵直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴，y轴分别相交于A、B两点，
∴A（-4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵点C（2，3）在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=6，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{6}{x}$（x＞0），
∵点P是反比例函数图象上一点，
∴设P（a，$\frac{6}{a}$），
∵PE垂直x轴于E，
∴PE=$\frac{6}{a}$，OE=a，
∵以P、O、E为顶点的三角形与△AOB相似，
∴$\frac{PE}{OB}=\frac{OE}{OA}$或$\frac{PE}{OA}=\frac{OE}{OB}$，
即：$\frac{\frac{6}{a}}{2}=\frac{a}{4}$，$\frac{\frac{6}{a}}{4}=\frac{a}{2}$，
解得：a=±2$\sqrt{3}$，a=$±\sqrt{3}$，
∵y=$\frac{k}{x}$（x＞0），
∴点P在第一象限，
∴P（2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）．
故答案为：（2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数$y=\frac{k}{x}$中k的几何意义，相似三角形的性质，正确掌握待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键．