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【题目】如图,ABC是O内接正三角形,将ABC绕点O顺时针旋转30°得到DEF,DE分别交AB,AC于点M,N,DF交AC于点Q,则有以下结论:①∠DQN=30°;②△DNQ≌△ANM;③△DNQ的周长等于AC的长;NQ=QC.其中正确的结论是   .(把所有正确的结论的序号都填上)

【答案】①②③

【解析】

试题如图,连接OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF,

∵△ABC绕点O顺时针旋转30°得到DEF,

∴∠AOD=COF=30°。

∴∠ACD=AOD=15°,FDC=COF=15°

∴∠DQN=QCD+QDC=15°+15°=30°所以正确

同理可得AMN=30°

∵△DEF为等边三角形,DE=DF弧DE=弧DF弧AE+弧AD=弧DC+弧CF

弧AD=弧CF,弧AE=弧DC∴∠ADE=DACND=NA

DNQ和ANM中∵∠DQN=AMN,DNQ=ANM,DN=AN。

∴△DNQ≌△ANM(AAS)所以正确

∵∠ACD=15°,FDC=15°,QD=QC

ND=NA,ND+QD+NQ=NA+QC+NQ=AC,即DNQ的周长等于AC的长所以正确

∵△DEF为等边三角形,∴∠NDQ=60°

DQN=30°,∴∠DNQ=90°QD>NQ

QD=QC,QC>NQ所以错误

综上所述,正确的结论是①②③

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