Question

8．如图，∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是（　　）

• A． 3
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 首先作A关于ON的对称点A′，点B关于OM的对称点B′，连接A′B′，交于OM，ON分别为P，Q，连接OA′，OB′，可求得AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′，∠A′OB′=60°，然后由特殊角的三角函数值，判定∠OA′B′=90°，再利用勾股定理求得答案．

解答 解：作A关于ON的对称点A′，点B关于OM的对称点B′，连接A′B′，交于OM，ON分别为P，Q，连接OA′，OB′，
则PB′=PB，AQ=A′Q，OA′=OA=2，OB′=OB=4，∠MOB′=∠NOA′=∠MON=20°，
∴AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′，∠A′OB′=60°，
∵cos60°=$\frac{1}{2}$，$\frac{OA′}{OB′}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OA′B′=90°，
∴A′B′=$\sqrt{OB{′}^{2}-OA{′}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴线段AQ+PQ+PB的最小值是：2$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 此题考查了最短路径问题以及勾股定理．注意准确找到P，Q的位置是解此题的关键．