Question

11．如图（1），在边长为3的等边△ABC上再叠加一个Rt△DEF，在Rt△DEF中，∠DEF=90°，∠F=30°，等边△ABC的边BC与EF重合，顶点E与B重合，定点A在DF上．若等边△ABC沿着EF方向以每秒2个单位的速度运动，直到C与F重合为止．设运动时间x秒，
（1）求线段EF的长；
（2）请你用含有x的代数式表示线段AM的长；
（3）假设Rt△DEF和等边△ABC重合部分的面积为y，请你写出y与x之间的函数关系式；
（4）重合部分的面积与Rt△DEF的面积的比有可能是7：24吗？如果有可能，请求出此时x的值；如果没有可能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据△ABC是等边三角形可知∠ACB=60°，再由三角形外角的性质即可得出∠CAF=30°，故可得出AC=CF=3，故可得出EF的长；
（2）根据速度为2m/s，时间为x秒，可知BE=x，BF=6-x，再由△ABC是等边三角形可知∠A=60°，由∠F=30°得出∠ANM=90°，根据直角三角形的性质得出BN=$\frac{1}{2}$BF=3-x，AN=3-BN=3-（3-x）=$\frac{x}{2}$，再根据M=2AN即可得出结论；
（3）根据（3）中求出的AN、AM的长可用x表示出△AMN的面积，再由y=S_△ABC-S_△AMN即可得出结论；
（4）根据Rt△DEF中，EF=6，∠F=30°可求出DE的长，进而得出△DEF的面积，再由（3）中y与x的关系式即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ACB是△ACF的外角，∠F=30°，
∴∠CAF=∠ACB-∠F=60°-30°=30°，
∴AC=CF=3，
∴EF=BC+CF=3+3=6；

（2）如图2，∵速度为2m/s，时间为x秒，
∴BE=2x，BF=6-2x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵∠F=30°，
∴∠ANM=90°，
∴BN=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{6-2x}{2}$=3-x；
∴AN=3-BN=3-（3-x）=x，
∵由（1）知，∠AMN=∠F=30°，
∴AM=2AN=2x；

（3）∵由（2）知，AN=x，AM=2x，
∴MN=$\sqrt{3}$x，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$AN•MN=$\frac{1}{2}$×x×$\sqrt{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴y=S_△ABC-S_△AMN=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²（0≤x≤3）；

（4）存在．
∵Rt△DEF中，EF=6，∠F=30°，
∴DE=2$\sqrt{3}$，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$EF•DE=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，
∵由（3）知，y=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²（0≤x≤3），
∴$\frac{\frac{9\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}}{6\sqrt{3}}$=$\frac{7}{24}$，
解得：x=1，x=-1（不合题意），
∴当x=1时，存在重合部分的面积与Rt△DEF的面积的比是7：24．

点评 本题考查了相似形综合题，涉及到直角三角形的性质、锐角三角函数的定义、三角形的面积等知识，正确利用锐角三角函数关系得出各边长是解题关键．