Question

13．如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．
（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；
（3）在（2）的条件下连EF，若△DEF的面积为y，BE=x，求y与x的关系式．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质得到△ABD是等边三角形，再证明△ADF≌△BDE即可；
（2）由菱形的性质得到△ABD是等边三角形，再证明△ADF≌△BDE即可；
（3）利用全等三角形的面积相等，再直接计算面积．

解答 （1）DF=DE．
证明：如图2，连接BD，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠A=60°
∵∠EDF=60°，
∴∠ADF=∠BDE，
在△ADF与△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠BDE}\\{AD=BD}\\{∠A=∠DBE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴DF=DE；
（2）DF=DE．
如图3，连接BD．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠A=60°
∵∠EDF=60°，
∴∠ADF=∠BDE．
在△ADF与△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠BDE}\\{AD=BD}\\{∠DAF=∠DBE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴DF=DE；
（3）由（2）知，△ADF≌△BDE．则S_△ADF=S_△BDE，
设AF=BE=x．
∴y=S_△BEF+S_△ABD=$\frac{1}{2}$（2+x）$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$x+$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
即y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题几何变换综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，判断三角形是等边三角形（△ABD是等边三角形）是解本题的关键．