Question

8．如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为$\sqrt{2}$，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n
（1）请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对证明它们相似；
（2）根据图1，求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；
（3）在旋转过程中，BD²+CE²=DE²是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用三角形相似，得出结论，再用等式的性质，即可；
（2）利用相似三角形得到$\frac{BE}{CA}=\frac{BA}{CD}$，即可；
（3）根据函数关系 m=$\frac{1}{n}$，得到点的坐标，再用勾股定理逆定理即可；
（4）由旋转CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°，再用三角形全等即可．

解答 解：（1）△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA； 
∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA，
 又∵∠B=∠C=45°，
∴△ABE∽△DCA，
（2）∵△ABE∽△DCA，
∴$\frac{BE}{CA}=\frac{BA}{CD}$，
由题意可知 CA=BA=1，
∴m=$\frac{1}{n}$（ 自变量n的取值范围为$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜n＜$\sqrt{2}$）；
（3）由BD=CE可得BE=CD，
即m=n，
∵m=$\frac{1}{n}$，
∴m=n=1，
∵OB=OC=$\frac{1}{2}$，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OE=OD=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，D（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1，0），
∴BD=OB=OD=$\sqrt{2}$-1=CE，DE=2OD=2-$\sqrt{2}$，
∴BD²+CE²=2BD²=6-4$\sqrt{2}$，
  DE²=（2-$\sqrt{2}$）²=6-4$\sqrt{2}$，
∴BD²+CE²=DE²．
（4）成立
证明：如图，

将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，
则CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°，
 连接HD，在△EAD和△HAD中 
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD，
∴△EAD≌△HAD，
∴DH=DE，
 又∵∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD²+HB²=DH² 即BD²+CE²=DE²．

点评 此题是几何变换的综合题，主要考查旋转和相似三角形的性质和判定，等式的性质，建立函数关系是解本题的关键．