Question

3．如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，a），B（2a，0），M（$\frac{1}{2}$a，0），∠MAN=45°，将△OAM绕A逆时针旋转90°．
（1）画出旋转后的图形，并说明△OAB的形状；
（2）若a=6，求$\frac{{S}_{△OAM}}{{S}_{△BAN}}$；
（3）在（2）的条件下，在y轴的负半轴上是否存在一点P，使PM平分∠OPN？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点A作AH⊥x轴于H，根据A、B的坐标，证明AH=OH=BH即可；
（2）△EAN≌△MAN，再利用勾股定理计算出相关线段即可；
（3）利用勾股定理和角平分线的特点求出点P（0，-6）．

解答 解：（1）如图1，△ABE为旋转后的图形，

过点A作AH⊥x轴于H，
∵A（a，a），
∴OH=AH=a，
∵B（2a，0），
∴OB=2a，
∴BH=OH=a，
∵AH⊥x轴，
∴∠OHA=∠BHA=90°，
∴∠AOH=∠OAH=∠ABH=∠BAH=45°，
∴∠OAB=90°，OA=BA，
∴△OAB为等腰直角三角形；
（2）
由已知可得△ABE≌△AOM，
∴∠OAM=∠BAE，AE=AM，OM=BE，
∵∠ABE=∠AOM=45°，
∴∠EBN=90°，
∵∠OAM+∠BAM=90°，
∴∠BAE+∠BAM=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=45°，
连接NE，在△EAN和△MAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AN}\\{∠MAN=∠EAN}\\{AM=AG}\end{array}\right.$，
∴△EAN≌△MAN（SAS），
∴MN=EN，
∵a=6，
∴OB=2a=12，OM=$\frac{1}{2}a$=3，
设BN=x，则MN=EN=12-3-x=9-x，
∵BN²+BG²=NG²，
∴x²+3²=（9-x）²，
解得：x=4，
∴$\frac{{S}_{△OAM}}{{S}_{△BAN}}=\frac{\frac{1}{2}OM•AH}{\frac{1}{2}BN•AH}=\frac{OM}{BN}=\frac{3}{4}$；
（3）
存在P使PM平分∠OPN，如图2，过M作MQ⊥PN于Q，

∵PM平分∠OPN，∠NOP=90°，
∴OM=MQ=3，
∵MN=9-x=9-4=5，∠MQN=90°，
∴NQ=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵∠MPO=∠MPQ，
∠MPO+∠OMP=90°，
∠MPQ+∠QMP=90°，
∴∠OMP=∠QMP，
∴OP=QP，
设OP=QP=m，则PN=4+m，
在Rt△OPN中，
∵OP²+ON²=PN²，
∴m²+8²=（m+4）²，
解得：m=6，
∴P（0，-6），
∴存在P（0，-6）使PM平分∠OPN．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查全等三角形判定和性质及旋转的特点，勾股定理的应用是解本题的关键，辅助线的作法是本题的难点．