Question

【题目】已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与轴、轴的交点分别为、，点是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①；②是的一个根；③周长的最小值是．其中正确的是（ ）

A. 仅有①② B. 仅有②③ C. 仅有①③ D. ①②③

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根据对称轴方程求得a、b的数量关系；
②根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3；
③利用两点间直线最短来求△PAB周长的最小值．

①根据图象知，对称轴是直线x=-=1，则b=-2a，即2a+b=0．
故①正确；
②根据图象知，点A的坐标是（-1，0），对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），所以x=3是ax2+bx+3=0的一个根，故②正确；
③如图所示，点A关于x=1对称的点是A′，即抛物线与x轴的另一个交点．
连接BA′与直线x=1的交点即为点P，
则△PAB周长的最小值是（BA′+AB）的长度．
∵B（0，3），A′（3，0），
∴BA′=3．即△PAB周长的最小值是3+．
故③正确．
综上所述，正确的结论是：①②③．
故选：D．