Question

17．如图所示，在矩形ABC中，AB=4，AD=4$\sqrt{2}$，E是线段AB的中点，F是线段BC上的动点，△BEF沿直线EF翻折到△B′EF，连结DB′，B′C．当DB′最短时，则sin∠B′CF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 当DB′最短时，E、B′、D共线，此时DE=6，DB′=4，作B′M⊥BC垂足为M，易知：B′M=$\frac{8}{3}$，CM=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，所以CB′=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，sinB′CF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

解答 解：由折叠可知：BE=B′E
∴B′在以E为圆心，BE为半径的圆上，
如图所示，此时DB′最短，
由勾股定理得：ED=6，
∵B′M⊥AB，B′N⊥BC，
∴∠B′ME=∠B′NF=90°，
∵∠MB′E+∠EB′N=∠NB′F+∠EB′N=90°
∴∠MB′E=∠NB′F，
∴△B′ME∽△DAE
∴$\frac{B′M}{DA}=\frac{EM}{EA}=\frac{EB′}{ED}=\frac{1}{3}$
∴B′M=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，EM=$\frac{2}{3}$
∴BN=B′M=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，B′N=BM=BE+EM=$\frac{8}{3}$，CN=BC-BN=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
由勾股定理得：B′C=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴sinB′CF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了线段最短、勾股定理、锐角三角函数和三角形的相似的判定和性质，此题的难点是发现何时线段DB′最短，比较抽象，有一定难度．