Question

12．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-2ax-4与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点A的坐标为（-3．，0），点D在线段AB上，AD=AC．
（1）求这条抛物线的关系式，并求出抛物线的对称轴；
（2）如果以DB为半径的圆D与圆C外切，求圆C的半径；
（3）设点M在线段AB上，点N在线段BC上，如果线段MN被直线CD垂直平分，求$\frac{BN}{CN}$的值．

Answer 1

分析 （1）把点A的坐标代入函数解析式，利用方程求得a的值；然后利用抛物线解析式来求对称轴方程；
（2）根据抛物线解析式可以求得点B、C的坐标，结合已知条件“AD=AC”可以得到点D的坐标，由点的坐标与图形的性质来求圆C的半径；
（3）利用等腰△ACD、线段垂直平分线的性质得到∠AMC=∠BND，然后由三角形内角和推知∠180°-∠ACM-∠AMC=180°-∠B-∠BND，则∠A=∠BDN，易得DN∥AC，所以，根据平行线分线段成比例求得$\frac{BN}{CN}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{3}{5}$．

解答 解：（1）把（-3，0）代入y=ax²-2ax-4得：9a+6a-4=0，
解得：a=$\frac{4}{15}$，
则抛物线的解析式是：y=$\frac{4}{15}$x²-$\frac{8}{15}$x-4，
对称轴是x=-$\frac{-\frac{8}{15}}{2×\frac{4}{15}}$=1，即x=1；

（2）在y=$\frac{4}{15}$x²-$\frac{8}{15}$x-4中，令y=0，得$\frac{4}{15}$x²-$\frac{8}{15}$x-4=0，
解得：x=-3或5．
则B的坐标是（5，0）．
在y=$\frac{4}{15}$x²-$\frac{8}{15}$x-4中令x=0，
解得：y=-4，则C的坐标是（0，-4）．
AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
则D的坐标是（2，0），
∴CD=2$\sqrt{5}$，BD=3．
当两圆外切时，R_C+BD=CD，R_C=2$\sqrt{5}$-3．
则圆C的半径是：2$\sqrt{5}$-3；

（3）∵AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD，
又∵线段MN被直线CD垂直平分，
∴∠DCB=∠DCM，
∴∠ACM=∠B．
又∵∠DNC=∠DMC，
∴∠AMC=∠BND，
∴∠180°-∠ACM-∠AMC=180°-∠B-∠BND，
∴∠A=∠BDN，
∴DN∥AC，
∴$\frac{BN}{CN}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形判定和性质、点的坐标与图形的性质以及线段垂直平分线的性质等知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．（3）中弄清DN∥AC是解题的关键．