Question

8．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BM⊥CM于M，且CM＞BM
（1）如图1，过点A作AF⊥CM于F，直线写出线段BM、AF、MF的数量关系是AF=BM+MF
（2）如图2，D为BM延长线上一点，连AD以AD为斜边向右侧作等腰Rt△ADE，再过点E作EN⊥BM于N，求证：CM+EN=MN；
（3）将（2）中的△ADE绕点A顺时针旋转任意角α后，连BD取BD中点P，连CP、EP，作出图形，试判断CP、EP的数量和位置关系并证明．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定定理AAS推知△ACF≌△CBM，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换，即可解答；
（2）如图2，过点A作AG⊥CM于G，反向延长GA交EN于H，由四边形GMNH为矩形，得到AH⊥EN，然后易得：△CMB≌△AGC，△AEH≌△EDN，利用全等三角形的对应边相等得到相等的线段，即可解答．
（3）取AB的中点M、AD的中点N，连接PM、CM、NE、PN，则可构造△PNE≌CMP，结论不言而喻．

解答 解：（1）AF=BM+MF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCM=90°．
又∵AF⊥CM，
∴∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠CAF=∠BCM．
在△ACF和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BMC=∠CFA=9{0}^{°}}\\{∠CAF=∠BCM}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△CBM，
∴BM=CF，AF=CM，
∴CF+MF=BM+MF=MC=AF，即AF=BM+MF．
故答案为：AF=BM+MF．
（2）如图2，过点A作AG⊥CM于G，反向延长GA交EN于H，

∴四边形GMNH为矩形
∴AH⊥EN
根据三垂直得：△CMB≌△AGC，△AEH≌△EDN，
∴CM=AG，EN=AH，
∴MN=GH=GA+AH=CM+EN．
（3）如图3，

取AB的中点M、AD的中点N，连接PM、CM、NE、PN，
∵△BCA与△AED均为等腰直角三角形，
∴CM=BM=AM，CM⊥BA，
EN=AN=DN，NE⊥AD，
∵P为BD中点，
∴PN=AM=BM=CM，PN∥BA，
PM=AN=DN=NE，PM∥AD，
∴AMPN是平行四边形，
∴∠BMP=∠PND，
∴∠PMC=∠ENP，
∴△PNE≌CMP（SAS），
∴CP=PE，
∵CM⊥AB，PN∥AB，
∴CM⊥PN，
∴CP⊥PE，
综上所述，CP=PE且CP⊥PE．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，线段和差关系的证明方法、中点的用法、中位线性质等知识点，难度中等．对于证明线段和差关系的结论，截长或补短构造全等三角形是关键．第（3）问是中点的经典用法，取中点，借助中位线转移线段长度和角度，从而构造全等三角形，这一类题要引起重视．